負二項式分布- 維基百科 - Wikipedia

比如，如果我們定義擲骰子隨機變數x值為x=1時為成功，所有x≠1為失敗，這時我們反覆擲骰子直到1出現3次（成功次數r=3），此時非1數字出現次數的機率分布即為負二項式 ... 負二項式分布 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 負二項式分布 機率質量函數 紅線是平均值 綠線是標準差母數 r > 0 {\displaystyler>0\!} (實) 0 < p < 1 {\displaystyle0

1 {\displaystyle\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor{\text{if}}r>1} 0  if  r ≤ 1 {\displaystyle0{\text{if}}r\leq1} 變異數 r 1 − p p 2 {\displaystyler\,{\frac{1-p}{p^{2}}}\!} 偏度 2 − p r ( 1 − p ) {\displaystyle{\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}}\!} 峰度 6 r + p 2 r ( 1 − p ) {\displaystyle{\frac{6}{r}}+{\frac{p^{2}}{r\,(1-p)}}\!} 動差母函數 ( p 1 − ( 1 − p ) e t ) r {\displaystyle\left({\frac{p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}\!} 特徵函數 ( p 1 − ( 1 − p ) e i t ) r {\displaystyle\left({\frac{p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}\right)^{r}\!} 負二項式分布（Negativebinomialdistribution）是統計學上一種描述在一系列獨立同分布的伯努利試驗中，成功次數到達指定次數（記為r）時失敗次數的離散機率分布。

比如，如果我們定義擲骰子隨機變數x值為x=1時為成功，所有x≠1為失敗，這時我們反覆擲骰子直到1出現3次（成功次數r=3），此時非1數字出現次數的機率分布即為負二項式分布。

帕斯卡分布（Pascaldistribution，來自BlaisePascal）和波利亞分布（Polyadistribution，又稱罐子模型，來自GeorgePólya）均是負二項式分布的特例。

在工程，氣候等領域中經常用「負二項式分布」或「帕斯卡分布」來描述變數r為整數的情況，而使用「波利亞分布」來描述r取到實數值R的情況。

對於「傳染性的」（"contagious"）的離散事件，例如龍捲風爆發，相比泊松分布，波利亞分布由於允許其平均值和變異數不同，而能夠給出更精確的模型。

「傳染性」的事件中，如果事件發生率相互獨立，其發生率間的正相關性（即發生率間存在正共變異數項）會導致變數分布有更大的變異數。

「負二項式分布」與「二項分布」的區別在於：「二項分布」是固定試驗總次數N的獨立試驗中，成功次數k的分布；而「負二項式分布」是所有到r次成功時即終止的獨立試驗中，失敗次數k的分布。

目次 1定義 2概率質量函數 2.1帕斯卡分布 2.1.1二項係數與負二項名稱來源 2.1.2概率質量函數對所有可能k值求和為1 2.2幾何分布 2.3例子 3參見 定義[編輯] 若每次伯努利試驗有兩種可能的結果，分別為成功或者失敗。

在每次試驗中，成功的機率為p，失敗的機率為（1-p）。

反覆進行該伯努利試驗，直到觀察到第r次成功發生。

此時試驗失敗次數 X {\displaystyleX} 的分布即為負二項式分布（或稱帕斯卡分布），那麼： 若隨機變數 X {\displaystyle{\mathit{X}}} 服從母數為 r {\displaystyle{\mathit{r}}} 和 p {\displaystyle{\mathit{p}}} 的負二項式分布，則記為 X ∼ N B ( r , p ) {\displaystyleX\simNB(r,p)} . 在實際生活中，我們可以使用負二項式分布描述某種機器在壞掉前，能夠工作的天數的分布。

此時，「成功」的事件可以指機器正常工作一天，「失敗」的事件可以指機器故障的一天。

如果我們使用負二項式分布來描述運動員在獲取r個獎牌前嘗試的次數的分布，此時，「失敗」的事件指運動員的一次嘗試，「成功」的事件指運動員獲取一枚獎牌。

如果使用負二項式分布來描述擲一枚硬幣出現r次正面前，出現硬幣反面的次數的分布，「成功」的事件指出現硬幣的正面，「失敗」的事件指出現硬幣的反面。

機率質量函數[編輯] 帕斯卡分布[編輯] 當 r {\displaystyler} 是整數時的負二項式分布又稱帕斯卡分布，其機率質量函數為： f ( k ; r , p ) ≡ Pr ( X = k ) = ( k + r − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) k for  k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystylef(k;r,p)\equiv\Pr(X=k)={\binom{k+r-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}\quad{\text{for}}k=0,1,2,\dotsc} 其中k是失敗的次數，r是成功的次數，p是事件成功的機率。

在負二項式分布的機率質量函數中，由於k+r次伯努利試驗為獨立同分布，每個成功r次、失敗k次的事件的機率為(1−p)kpr。

由於第r次成功一定是最後一次試驗，所以應該在k+r-1次試驗中選擇r-1次成功，使用排列組合二項係數獲取所有可能的選擇數。

二項係數與負二項名稱來源[編輯] 括號中為二項式係數表達式： ( k + r − 1 r − 1 ) = ( k + r − 1 ) ! ( k ) ! ( r − 1 ) ! = ( k + r − 1 ) ( k + r − 2 ) ⋯ ( r ) ( k ) ! {\displaystyle{\binom{k+r-1}{r-1}}={\frac{(k+r-1)!}{(k)!\,(r-1)!}}={\frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{(k)!}}} 該表達式可以寫成帶負值母數的二項係數的形式，如下式所示，解釋了「負二項」名稱的來源： ( k + r − 1 ) ⋯ ( r ) k ! = ( − 1 ) k ( − r ) ( − r − 1 ) ( − r − 2 ) ⋯ ( − r − k + 1 ) k ! = ( − 1 ) k ( − r k ) . {\displaystyle{\begin{aligned}&{\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!}}\\[6pt]={}&(-1)^{k}{\frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!}}=(-1)^{k}{\binom{-r}{k}}.\end{aligned}}} 機率質量函數對所有可能k值求和為1[編輯] 帕斯卡分布機率質量函數f(k;r,p)對所有可能k值求和，一定等於1： ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 k ) p r q k = 1 {\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}=1} 證明如下： 1 = p r p − r = p r ( 1 − q ) − r = p r ∑ k = 0 ∞ ( − r k ) ( − q ) k = p r ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − r k ) q k = ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 k ) p r q k {\displaystyle1=p^{r}p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{-r}{k}}(-q)^{k}=p^{r}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}{\binom{-r}{k}}q^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}} 其中第三步用到了二項序列展開。

幾何分布[編輯] 取 r = 1 {\displaystyler=1} ，負二項式分布等於幾何分布。

其機率質量函數為 f ( k ; 1 , p ) = p ⋅ ( 1 − p ) k {\displaystylef(k;1,p)=p\cdot(1-p)^{k}\!} 。

例子[編輯] 舉例說，若我們擲骰子，擲到一即視為成功。

則每次擲骰的成功率是1/6。

要擲出三次一，所需的擲骰次數屬於集合{3,4,5,6,...}。

擲到三次一的擲骰次數是負二項式分布的隨機變數。

要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其機率為 ( 1 / 6 ) 3 {\displaystyle(1/6)^{3}} 。

注意擲骰是伯努利試驗，之前的結果不影響隨後的結果。

若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一，在三次擲骰中擲到2次1的機率為 ( 3 3 − 1 ) ( 5 6 ) ( 1 6 ) 2 {\displaystyle{3\choose3-1}\left({5\over6}\right)\left({1\over6}\right)^{2}} 。

第四次擲骰要擲到一，所以要將前面的機率再乘（1/6）： ( ( 1 + 3 ) − 1 3 − 1 ) ( 1 6 ) 3 ( 5 6 ) {\displaystyle{(1+3)-1\choose3-1}\left({1\over6}\right)^{3}\left({5\over6}\right)} 。

參見[編輯] 二項式分布 幾何分布 閱論編機率分布列表（英語：Listofprobabilitydistributions）有限支集離散單變數 本福德 伯努利 β-二項式 二項 分類（英語：Categoricaldistribution） 超幾何 泊松二項（英語：Poissonbinomialdistribution） 拉德馬赫（英語：Rademacherdistribution） 離散均勻 齊夫 齊夫-曼德爾布羅特（英語：Zipf–Mandelbrotlaw） 無限支集離散單變數 β-負二項（英語：Betanegativebinomialdistribution） 鮑萊耳（英語：Boreldistribution） 康威-麥克斯韋-泊松（英語：Conway–Maxwell–Poissondistribution） 離散相型（英語：Discretephase-typedistribution） 德拉波特（英語：Delaportedistribution） 擴展負二項 高斯-庫茲明 幾何 對數 負二項 拋物線碎形 泊松 Skellam 尤爾-西蒙 ζ 緊支集連續單變數 反正弦 ARGUS 巴爾丁-尼科爾斯 貝茨 Β Β動差形 歐文-霍爾 庫馬拉斯瓦米 分對數常態 非中心β 升餘弦 倒數 三角形 U-二次型 連續均勻 維格納半圓 半無限區間支集連續單變數 貝尼尼 第一類本克坦德 第二類本克坦德 Β' 伯爾 χ² χ Dagum 戴維斯 指數-對數 愛爾朗 指數 F 摺疊常態 弗洛里-舒爾茨（英語：Flory–Schulzdistribution） 弗雷謝 Γ Γ/岡珀茨 廣義逆高斯 岡珀茨 半邏輯 半常態 霍特林T-方 超愛爾朗 超指數 次指數 逆χ² 縮放逆χ² 逆高斯 逆Γ 科摩哥洛夫 列維 對數柯西 對數拉普拉斯 對數邏輯 對數常態 動差陣指數 麥克斯韋-玻耳茲曼 麥克斯韋-於特納 米塔格-萊弗勒 中上 非中心χ² 柏拉圖 相型 保利-韋伯 瑞利 相對布萊特-維格納分布 萊斯 移位岡珀茨 截斷常態 第二類岡貝爾 韋伯 離散韋伯 威爾克斯λ 無限區間支集連續單變數 柯西 指數冪 費雪z 高斯q 廣義常態 廣義雙曲 幾何穩定 岡貝爾 赫魯茲馬克 雙曲正割 詹森SU 朗道 拉普拉斯 非對稱拉普拉斯 邏輯 非中心t 常態（高斯） 常態逆高斯 偏斜常態 斜線 穩定 學生t 第一類岡貝爾 特雷西-威登 變異數-γ 福格特 可變類型支集連續單變數 廣義極值 廣義柏拉圖 圖基λ Q-高斯 Q-指數 Q-韋伯 移位對數邏輯 混合連續離散單變數 調整高斯 多元（聯合） 離散 尤恩斯 多項 狄利克雷多項 負多項 連續 狄利克雷 廣義狄利克雷 多元常態 多元穩定 多元t 常態縮放逆γ 常態γ 動差陣 逆動差陣γ 逆威沙特 動差陣常態 動差陣t 動差陣γ 常態逆威沙特 常態威沙特 威沙特 定向（英語：Directionalstatistics） 一元（圓形） 圓形均勻 一元馮·米塞斯 環繞常態 環繞柯西 環繞指數 環繞非對稱拉普拉斯 環繞列維 二元（球形） 肯特 二元（環形） 二元馮·米澤斯 多元 馮·米澤斯-費雪 賓漢姆 退化和奇異（英語：Singulardistribution） 退化 狄拉克δ 奇異 康托爾 族 圓形 複合泊松 橢圓 指數 自然指數 位置尺度 最大熵 混合 皮爾森 特威迪 環繞 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=负二项分布&oldid=69889951」 分類：​離散分布階乘與二項式主題隱藏分類：​使用過時圖像語法的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 DeutschΕλληνικάEnglishEspañolEuskaraفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתMagyarItaliano日本語NederlandsNovialPolskiPortuguêsРусскийSlovenščinaSundaSvenskaతెలుగుไทยTürkçeУкраїнська 編輯連結