期望值

其中 表隨機變數 取值在 之機率值, 對 。

例如, 投擲一公正的骰子, 也就是1,2,3,4,5,6每個面出現的機率皆為 ...    對一隨機現象,我們常想粗略地知道其值究竟多大? 期望值(expecation, 或稱expected  value,mean), 就是常被拿來扮演這種以一單一的值, 來代表一隨機現象中之變數大小的角色。

設為一離散型的隨機變數, 且可能取值為,則之期望值定義為   , 其中表隨機變數取值在之機率值, 對。

   例如, 投擲一公正的骰子,也就是1,2,3,4,5,6每個面出現的機率皆為1/6, 令隨機變數表 所出現之點數,則=1/6,  ,因此之期望值為             。

  對一隨機變數而言,因無法掌握隨機的量之大小, 我們才想要有一代表值,而期望值就是常被拿來 當做隨機變數之代表值, 期望值像是隨機變數分佈的一核心, 隨機變數的可能值, 散佈在期望值的 左右。

其他亦常被拿來當做隨機變數之代表值的尚有中位數(median)及眾數(mode)。

目前我們只討論 期望值。

         生活中的實例1 某商人在夜市擺一種遊戲, 袋中有紅球5個,白球3個,藍球2個,抽獎者自袋中抽出一球, 若抽中 紅球可得10元,抽中白球可得100元, 抽中藍球可得200元,試問抽獎者可獲獎金的期望值。

[解]:令隨機變數=抽獎者獲得的獎金, 所以取值為10,100,200。

則           :表抽中紅球的事件之機率=5/10=0.5,          :表抽中白球的事件之機率=3/10=0.3,          :表抽中黑球的事件之機率=2/10=0.2,        因此之期望值為            ,     所以抽獎者可獲得獎金的期望值為75元 　 隨堂練習1   投擲一公正的骰子一次,若出現點數為偶數, 則可獲得與點數相同的錢數,若出現點數為 奇數, 須賠與點數相同的錢數,試求可獲得錢數的期望值。

[解]:0.5元  　 生活中的實例2  甲、乙二人玩一遊戲, 由甲先付給乙10元,然後自一袋裝有2白球及3黑球之袋中抽取一球, 若 取出白球,則乙付給甲25元, 否則乙不付給甲任何錢。

試求甲所淨得的錢之期望值。

[解]:因抽出一球, 不是白球就是黑球,所以樣本空間                     ={白球, 黑球}。

            當甲抽出白球時, 甲自乙那邊獲得25元,扣去原先給乙的10元,則甲淨得15元;             當甲抽出黑球時,甲自乙那邊獲得0元,扣去原先給乙的10元, 則甲淨得-10元(即虧10元)。

           令隨機變數=甲所淨得的錢。

則取值為15, -10,則            : 表甲抽出白球事件之機率=2/5=0.4,             :表甲抽出黑球事件之機率=3/5=0.6,      因此之期望值為                   所以甲所淨得的錢之期望值為0, 表示此遊戲對甲乙雙方均是公平的遊戲。

　 隨堂練習2   承上例, 若把袋中的球換成4個白球與1個黑球,試求甲所淨得的錢之期望值。

[解]:10元。

　 生活中的實例3   有五個選項的單選題, 每題答對給8分,則答錯應倒扣幾分才公平。

[解]:令隨機變數=所得之分數, 並設答錯得分(即倒扣分), 則           : 表答對的事件之機率=1/5=0.2,            : 表答錯的事件之機率=4/5=0.8,       因此,之期望值要等於0,才合理, 所以                可得,所以要倒扣2分才合理。

　 隨堂練習3   有5個選擇像的複選題(至少要選一個), 每題答對給12分,則答錯應倒扣幾分才合理。

[解]:0.4分 　 1. 某地攤有一遊戲,玩一次要付10元。

攤主放8個白棋子及8個黑棋子在一袋中。

玩者自袋中摸出五個棋子。

若拿到5個白的可得200元, 拿到4個白的可得20元,拿到3個白的可得5元。

試問您是否願意玩此遊戲?　2. 設生男生女的機率均為0.5。

某國由於國情的關係, 每一家庭皆希望有男孩, 但政府為抑制人口的成長, 規定每一家庭只能有一男孩,若前幾胎皆為女孩,則可繼續生, 直至生出一男孩,便須停止。

問這種政策執行的結果, 是否會造成社會上女多於男? 並給出理由。

  [解答部分]: 1. 不願意。

因期望值小於10。

2. 不見得,因平均而言,每個家庭生兩胎,會有一男一女。

五個骰子投擲一次,若五個骰子同點,則可得1200元, 若恰四個骰子同點,則可得600元, 則 投擲一次之期望值為何? 投擲一公正的硬幣三次, 每出現一個正面得5元,一個反面賠2元, 則所得總額之期望值為何?  設某人站在數線原點位置上擲一顆骰子, 得1點或2點朝正方向前進一單位, 得其餘點數, 朝負 方向前進一單位。

此人連擲四次骰子,求此人所在位置之坐標期望值為何? 某人擲二個公正的骰子, 若擲出點數之和為7時,可得200元,並得繼續投擲的權利, 直到未擲出點數之和為7才停止,試求此人所得之期望值。

  [解答部分]:1. 25/2。

2.9/2。

3.-4/3。

4.40元。