機率一

機率與統計的差異. 機率. 對於已知的模型，要怎麼去量化某些特定事件的發生。

例如:給定一顆公平的骰子，問擲出偶數點的機率? 其中，公平骰子即為已知模型。

      Published LinkedwithGitHub Like1 Bookmark Subscribe Edit --- title:機率一 tags:機率與統計 --- #為何學機率 因為有人類有太多的未知，很難絕對的去描述一事件的發展。

#機率與統計的差異 ##機率 -對於已知的模型，要怎麼去量化某些特定事件的發生。

-例如:給定一顆公平的骰子，問擲出偶數點的機率? 其中，公平骰子即為已知模型。

##統計 -對於未知模型，如何從大量的實驗結果中去尋得模型。

-例如:不知一骰子公正否，欲求得個點數出現知模型。

#集合論 略 ##不相交(Disjoin) ##互斥 不相交的延伸。

不相交討論的是兩個集合。

互斥是討論多個集合。

集和間兩兩部相交。

##正集合相等 等價於證互相包含 #機率名詞 ##一個實驗(Experience)包含了 1.步驟(Procesures)詳細紀錄實驗的過程 2.模型(Model):統計所得或我們定義的機率分布 3.觀察(Observations) 如投擲兩公平骰子 -步驟:「取起兩枚公正骰子，握在手中吹口氣然後擲入碗中直至停止。

」 -模型:(1，1)(1，2)...(6，6)出現機會「均等」。

-觀察(6，6) ##結果(Outcome) 實驗可能的結果 -例如:約心儀的對象約會 -成功或失敗 ##樣本空間(SampleSpace) 所有可能的結果所乘的集合通常用S表示(或用希臘字母$\Omega$表示) -例如:約心儀的對象約會 -S={成功、失敗} -轉幸運之輪 -S'=[0，1) -轉幸運之輪兩次 -S''=S'xS' ##事件(Event) 事件是指對於實驗結果的某種敘述 在數學上常用符合的結果所形成的集合來作為描述，亦即是樣本空間的子集。

-例如:上課的出席狀況 結果有{準時、遲到、曠課} 事件1:有出席={準時、遲到} 事件2:沒規矩={遲到、曠課} ##事件空間(EventSpace) ==機率是一個函數將事件空間映射到[0，1]== #機率公理性質 ##公理(Axioms) 或者說公設，像是線性代數向量空間有十大公設 -不可被證明，是我們訂定的規則後續理論性值的基礎 -公理的好處在於「頭過身就過」當我們在引用跨理論的性質時只需滿足公設即可。

##機率三公設 1.$\forall\event\A，0\leqP(A)\leq1$ 2.$P(S)=1，\where\S\is\the\sample\sapce.$ 3.$事件\A_1，A_2...互斥\RightarrowP(A_1\cupA_2\cup...)=P(A_1)+P(A_2)+...$ ##公理三延伸 :::info $P(E)=P(o_1)+P(o_2)+...+P(o_n)$ ::: 考慮事件$E=\{o_1，o_2...o_n\}，其中o_i表示outcom$ 則$E=\{o_1\}\cup\{o_2\}\cup...\cup\{o_n\}$ 其中$\{o_1\}，\{o_2\}，...，\{o_n\}為互斥因為outcome不可能同時發生$ 所以根據公設3$P(E)=P(o_1)+P(o_2)+...+P(o_n)$ :::info $P(\emptyset)=0$ ::: $S\cap\emptyset=\emptyset\RightarrowS，\emptyset互斥$ $又S=S\cup\emptyset$ $P(S)=P(S)+P(\emptyset)$ $0=P(\emptyset)$ :::info $P(A)=1-P(A^c)$ ::: 類似上面 :::danger $C_1，C_2，...互斥，C_1\cupC_2\cup...=S$ $\RightarrowP(A)=P(A\capC_1)+P(A\capC_2)+...$ ::: $令C_1，C_2，...C_n互斥，\\C_1\cupC_2\cup...\cupC_n=S\\A\subseteqqS\RightarrowA=\bigcup_{i=1}^n\left({C_i\capA}\right)$ ##Boole's不等式 情境假設 S1:班上聰明的人很少 S2:班上漂亮的人很少 我們應該可以很合理的推襙聰明或漂亮的人應該也很少 ##Bonferroni不等式 如果班上聰明的人很多那不聰明的人應該很少 如果班上漂亮的人很多那不漂亮的人應該很少 則漂亮且聰明的人應當也很多 #條件機率(ConditionalProbability) :::info -P(X|Y)讀做PofXgiveny -X:所關心之事 -Y:條件(觀察到已發生的事) ::: recallthat反映出了我們對一件事情的了解程度。

考慮「卷矯露曲」情境如下，對於混哥看到考卷上的四個選項正確但按機率均為一。

倘若其隔壁坐著一位卷哥，且假設卷哥的答案一定是正確式個定理。

答案被卷哥的手遮住，但我們偷看到上緣之答案疑似是B或D，此時的機率應該會受到改變。

如果用上述的符號來表示則可寫成 :::info $P(A為正解|卷矯露曲)=P(C為正解|卷矯露曲)=0$ ::: 即我們會將事件中不滿足given的outcome移除。

##條件機率怎麼算 由於卷矯露曲事件發生，符合該事件結果的機率? -不管卷矯露曲發生否，B與D為正解的比率應當不變 :::danger $P(B為正解|卷矯露曲):P(D為正解|卷矯露曲)=P(B為正解):P(D為正解)$ ::: -卷矯露曲發生後正確解指有可能是B或D，故: :::danger $S'=\{B，D\}，\P(B為正解|卷矯露曲)+P(D為正解|卷矯露曲)=1$ ::: -根據上述二式 :::danger $P(B為正解|卷矯露曲)=\dfrac{P(B為正解)}{P(B為正解)+P(D為正解)\\\\\\\\}=\dfrac{P(B為正解)\\\\}{P(卷矯露曲)\\\\}$ ::: -推廣 -考慮某事件Y包含數個實驗結果$Y=\{o_1，o_2...o_n\}$ -考慮某事件$X=\{o_1，o_2，q_1，q_2\}$ -已知條件事件$Y=\{o_1，o_2，o_3\}$ :::danger $P(X|Y)=P(o_1|Y)+P(o_2|Y)=\dfrac{P(o_1)}{P(Y)}+\dfrac{P(o_1)}{P(Y)}=\dfrac{P(\{o_1，o_2\})}{P(Y)}=\dfrac{P(X\capY)}{P(Y)}$ ::: 去交集去掉不可能的結果 由上式亦可得 :::danger $P(X\capY)=P(X|Y)P(Y)=P(Y|X)P(X)$ ::: ##貝式定理 $P(A|B)=\dfrac{P(A\capB)}{P(B)}=\dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$ 觀察上式可發現條件跟觀察事件互換了，而此證式我們使用貝式定理的時機 考慮情境阿宅前去搭訕喜歡的店員， 令事件A={慘，普，滿}為店內可滿情形 事件B={笑，不笑} 對阿宅而言其注重的是店員笑否因此A是他的條件B是她觀察的目標 恰巧今天老闆經過看到了開心的阿宅知道店員對阿宅笑，反過來的老闆關心的是生意因此B變成了條件，而A成了他觀察的對象。

#機率的獨立性 ##兩種常見定義 1.若$P(A\capB)=P(A)*P(B)$ 2.若兩事件A、B之機率滿足$P(A|B)=P(A) 則A、B兩事件稱為機率上的獨立事件。

兩式可由條件機率公式證明之。

:::info **例:** P(拖車放行)=0.2 P(美女求情且未放行)=0.01 P(美女求情且放行)=0.09 P(美女未求情且未放行)=0.85 P(美女未求情且放行)=0.05 ::: **解:** P(美女求情)=0.01+0.09=0.1 P(美女求情)*P(車放行)≠P(美女求情且放行) 可知「美女求情」與「車放行」不為獨立事件 故執法人員不公正。

##推廣 $若事件A_1，A_2，...A_n從中「任選」m事件A_i1，Ai2，...Aim均滿足下列條件，則稱此n事件獨立$ :::danger $P(\bigcap_{j=1}^mA_{ij})=\prod_{j=1}^{m}P(A_{ij})(n>2)$ ::: ##算數機率(排列組合搭配古典機率) 因為在古典機率裡面它假設的是對於同一個事件每一個outcome發生的機會是均等的，所以你只要算這個事件有幾個outcome那你就可以知道個數，乘上每個outcome發生的機率，你就可以得到機率了 :::info **例:** 在PTT八卦版一樓推文有四種可能機率分別如下 $P(「五樓被一樓月工」)=0.2$ $P(「媽，我在這」)=0.3$ $P(「這ID必噓」)=0.4$ $P(「你媽知道你在這發廢文嗎」)=0.1$ 則十篇文中中推文出現「二次『五樓被一樓月工』，一次『媽，我在這』，三次『這ID必噓』，四次『你媽知道你在這發廢文嗎』的機率? ::: **解:** $\binom{10}{2，1，3，4}*[(0.2)^2*(0.3)^1*(0.4)^3*(0.1)^4]$ #隨機變數 ##Overview -這是一個用來把實驗結果(Outcome)數字化的表示方式 -目的是可以讓機率的推導更數學、更簡明 -隨機變數通常都是用大寫的英文字母表示! 例如前面的例子我們可令 $「五樓被一樓月工」:X=0$ $「媽，我在這」:X=1$ $「這ID必噓」:X=2$ $「你媽知道你在這發廢文嗎」:X=3$ $則P(「五樓被一樓月工」)+P(「媽，我在這」)+P(「這ID必噓」)+P(「你媽知道你在這發廢文嗎」)=1$ 可改寫為 $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1$ ##探究他的本質 1.隨機變數的本質是什麼?其實是一個函數把outcome映射到一個實數。

可以找出我們所關心的事件。

Note:函數可以是多對一的。

如果我們今天關心的是兩顆骰子的值加總為四。

(1,3)(3,1)都可以映射到4 ==$X:S→\Re$== 承上例，如:X(「五樓被一樓月工」)=0 2.以投擲兩顆骰子的問題為例： 可以把結果mapping到點數加總 如：(1,3)->4 而隨機變數的值會介在2~12之間。

當然也可以把加總值大於六映射到1其他映射到0 3.(此點單純為猜想)關於上面所說關心這件事。

即當我們今天給定X整個樣本空間會被限縮？這可以說明為何使用變數一詞。

變數即當他改變時整個結果會改變？ 如原本的$S->S_X$ ##隨機變數的種類 ###離散隨機變數(DiscreteR.V.) 值是有限個，或是無限可數 -Ex:宅vs.店員:X(微笑)=0，X(不笑)=1 =>X=0，X=1 -Ex:小美選男友:X(明)=0，X(華)=1，X(園)=2 =>X=0，X=1，X=2 -Ex:小名告白多少次成功:X(0次)=0，X(1次)=1，X(2次)=2，... =>X=0，X=1，X=2，... ###連續隨機變數(ContinuousR.V.) 值是無限多個且不可數 -Ex:幸運之輪:X可以是0~1之間內的任意數字 ##隨機變數的函數(DerivedRandomVariable) 既然是函數那當然也也有合成函數的概念 -Ex:阿宅若看到店員微笑就會點$200的套餐，若店員不笑那他就會改點$15的飲料。

則W是一個隨機變數嗎? 店員表情可由隨機變數X代表:X(微笑)=0，X(不笑)=1 W是X的函數:W(X(微笑))=200，W(X(不笑))=15。

所以W也是將outcome映射到實數!因此，W也是一個隨機變數!同時又見具隨機變數的函數此一角色。

#累積分布函數(CumulativeDistributionFunction，CDF) 對任一隨機變數X，我們定義其CDF函數: $F_X(x)\equivP(X\leqx)$ 例:幸運之輪 $F_X(0.5)=P(X\leq0.5)=\frac{1}{2}$ $P(a亮：「以泊桑分佈可解。

」 >瑜：「你也懂泊桑？」 >亮：「略懂、略懂。

」 1 × Signin Email Password Forgotpassword or Byclickingbelow,youagreetoourtermsofservice. SigninviaFacebook SigninviaTwitter SigninviaGitHub SigninviaDropbox SigninviaGoogle NewtoHackMD?Signup