機率的基本性質

是投擲一公正骰子的試驗, 認為六種可能結果有相同的可能性也是合理, 因此分配每一試驗結果之. 機率為1/6, 即出現1點的機率是1/6, 6點的機率也是1/6, 餘類推。

  機率的意義究竟是什麼? 在某些條件下我們稱一事件發生的機率為, 此處的含義為何? 不同的書不同的作者, 往往有不同的定義方式,但大致可分為下述三種: (1)將機率的概念以"相同的可能性"(equal possibility)來解釋,此為古典的定義。

      假設所有試驗結果之機率相等,若有個試驗結果, 則平均分配機率   至每一試驗結果。

就投擲一公正銅板的試驗而言, 認為兩種試驗結果(正面和反面)有相同的可能性是合理的,因此 分配每一試驗結果之機率為0.5, 即觀察到是正面的機率是0.5,觀察到是反面的機率也是0.5。

若 是投擲一公正骰子的試驗, 認為六種可能結果有相同的可能性也是合理, 因此分配每一試驗結果之 機率為1/6, 即出現1點的機率是1/6,6點的機率也是1/6, 餘類推。

　 (2)以多次重複試驗後, 一事件出現的頻率(frequency)來表示機率, 此即統計的定義,或客觀的解釋。

  由於古典的定義不夠一般性, 因它無法用來描述一有無限可能性的試驗結果。

以頻率來解釋機率,  必須針對是可以重複做試驗的事件, 如丟銅板等。

由於是實驗的結果,與觀察者是誰無相關, 因此 又稱客觀的解釋。

如某公司新產品試賣中, 接觸了400位顧客,其中100位買該產品而300位沒買。

事 實上,可以想像每接觸一位顧客, 相當於做了一次試驗,重複試驗了400次,而當中有100次顧客 買該產品,300次顧客沒有買, 因此我們可以說顧客購買該產品的機率為100/400=0.25。

同理, 顧客 沒有買該產品的機率為300/400=0.75。

       (3)以觀察者對一事件的相信程度來定義機率, 此即主觀的觀點。

         當試驗結果相同的可能性之假設不合理, 我們可以採用主觀的觀點。

主觀的觀點是根據過去客 觀的事實來決定,即使有相同的資料, 不同的人對同一事件,有時也會給出不同的主觀機率。

如考慮 中華台北對美國的世界盃棒球賽, 中華台北贏的機率是多少?很顯然地, 比賽結果輸、贏的可能性不 相等。

同時過去中華台北對美國的次數並不多, 因此若想估計中華台北獲勝的機率,我們必須用主觀 的觀點,如評量雙方的投手之防禦率, 或打擊者之打擊率等,給予一個值以表示中華台北會贏的相信 程度。

　    當然無論使用那一種的機率的定義方式,都需滿足下列條件:  (i) 給予每一試驗結果的機率必須介於0與1之間,   (ii)全部試驗結果之機率和必須等於1 　 給予每一試驗結果之機率後, 我們就可以給出任何事件的機率。

任何事件之機率等於該事件所有試驗 結果機率之和。

如投擲一公正的骰子, 因出現每一點的機率都是1/6,所以若令事件表出現點數為 偶數的事件,即={2,4,6}, 則事件的機率為出現2點, 4點,6點的試驗結果之機率加總,即  1/6+1/6+1/6=1/2,通常以來表示事件之機率, 因此=0.5。

　 關於機率有一些基本的性質,我們列於下: 設、為樣本空間中的二事件, 則 (1),  , (2), (3)餘事件的機率:, (4)機率的加法性:, (5)若、為互斥事件, 則,且, (6)單調性:若, 則。

  生活中的實例1 投擲一公正的銅板兩次, 試求出現兩個正面的機率。

[解]:若以"正反", 表第一次出現正面,第二次出現反面,餘類推。

因此樣本空間           ={正正,正反, 反反,反正},     我們可以認為這四種試驗結果有相同的可能性, 因此分配每一試驗結果的機率為1/4,所以     出現兩個正面的機率為1/4。

　 隨堂練習1  投擲一公正的骰子兩次,試求出現兩個3點的機率。

[解]:1/36。

　 生活中的實例2 某一醫院X光部門,連續30天記下早上九點鐘等待服務的病人人數, 得下列結果: 等待人數  發生的天數 0 5 1 7 2 10 3 5 4 3 試求等待人數為1的機率為何? [解]: 我們可以假設每一天為一次試驗,重複試驗了30次, 而等待人數為1,共出現了7次,所以機 率為7/30。

　 隨堂練習2  承實例2,試求等待人數為2的機率。

[解]:1/3。

　 生活中的實例3 甲先生和乙先生出價買一棟房子, 有兩種可能的結果:        =他們出的價格被接受        =他們出的價錢被拒絕 甲先生相信他們出價被接受的機率是0.7, 因此甲先生設=0.7。

乙先生相信他們出價被接 受的機率為0.5, 因此乙先生設=0.5。

我們可以注意到乙先生在出價是否被接受上, 較甲 先生悲觀。

　 隨堂練習3 承實例3, 在甲乙兩位個人主觀條件下, 分別求出他們認為出價被拒絕的機率。

[解]:甲先生相信他們出價被拒絕的機率是0.3; 乙先生相信他們出價被拒絕的機率是0.5。

　 生活中的實例4 一袋中有3個紅球,4個白球,5個黑球, 今自袋中任取3球,試求取出3球為同色之機率。

[解]:任取3球的可能結果共有=220種, 所以出現每一種的機率均為1/220。

因3球為同色,  所以可能情形為:3球皆為紅球有=1種, 3球皆為白球有=4種, 3球皆為黑球有=10種,  故共有15種。

因每一種機率皆為1/220,所以15種之機率為15/220=3/44, 即取出3球為同色之機 率為3/44。

　 隨堂練習4 承實例4,試求取出3球為不同顏色的機率。

[解]:3/11。

              生活中的實例5 設與為樣本空間中之二事件, 且已知=0.3, =0.4,=0.1, 試求 (1), (2)。

[解]:     (1)=0.3+0.4-0.1=0.6。

   (2)=0.4-0.1=0.3 　 隨堂練習5  在某一研究發現有30%家庭的先生和20%家庭的太太會定時收看星期日晚上的某一節目。

有12%的家 庭是夫婦同時收視此節目。

試求夫婦中至少有一人會定時收視此節目之機率是多少?  [解]:0.38 　 設921集集大地震後,一星期內統計共發生100次餘震, 其層級(取餘震整數部分,小數部分 略去)與次數統計如下表: 層級 2級 3級 4級 5級 6級 次數 30 30 20 15 5 依此數據推測下述問題 (1)餘震小於4級的機率。

(2)餘震不小於5級的機率。

(3)連續兩次平均餘震為4級的機率。

設某人每天上學途中,總共會遇到五個紅綠燈裝置, 假設該月總共上課20天,此人記錄該月 在上學途中會遇到紅燈的次數與機率如下: 次數 0 1 2 3 4 5 機率 0.05 0.15 0.20 0.20 0.10 依此數據試求下述問題: (1)之值, (2)遇到紅燈在四次以上的天數, (3)遇到三次以上紅燈之機率, (4)遇到兩次以下紅燈之機率。

[解] 1.(1)0.5, (2)0.2,  (3)0.16。

2.(1)0.30,(2)6天 (3)0.6,(4)0.4。

若袋中有相同樣式的黑鞋3雙,紅鞋2雙,自袋中任取四隻, 若機會均等, 則四隻恰有兩雙 的機率為何? 同時投擲三顆公正的骰子,試求下述情形之機率 (1)三顆點數均相異, (2)三顆點數均相同, (3)出現點數和為8, (4)出現點數和為15。

一副撲克牌共52張,試求下列情形之機率 (1)任取兩張,一紅一黑, (2)任取兩張,不同號碼, (3)任取五張,同花色。

投擲一個骰子四次,試求下述情形之機率 (1)恰好出現1點三次, (2)至少出現1點三次。

在春節返鄉, 設甲買到對號火車票的機率為0.5,而乙是0.6,又兩人同時 買到的機率是0.3。

試問兩人皆未買到對號火車票的機率為何? 　 [解答部分] 1. 。

2.(1) ,(2) ,(3) ,(4) 。

3.(1) ,(2) ,(3) 。

4.(1) ,(2) 。

5.。