5.2指數函數

即 為 之極限。

此後對任一實數 ，我們便將 寫成 。

而 ， ，便稱為指數函數，此為一定義在實數上之嚴格漸增且連續的函數，並取正值。

另外，也將 寫成 。

指數函數  a          為一嚴格單調漸增之函數，且滿足，。

故對，恰存在一，使得。

即為一由映至之且映成的函數。

因此之反函數存在，我們以表之。

函數之定義域為，值域為，且仍為連續及嚴格漸增。

       欲知之值為何，我們需先找到對數值為之，則。

又因對數函數為函數，且其值域為，故，恰有一解。

        現對每一有理數，因 ，， ， 得 ， 故 。

即對每一有理數，之值為的次方。

若，其中為二整數且 ，則的定義為。

       若為無理數，一個最自然的定義值的辦法是令 ， 又因為一連續函數，故對任一有理數列，只要，則 。

即為之極限。

此後對任一實數，我們便將寫成。

而， ，便稱為指數函數，此為一定義在實數上之嚴格漸增且連續的函數，並取正值。

另外，也將寫成。

 a         對於 ， 可有一較一般的形式，即將表示為下述極限 。

     此為另一求的步驟。

 a         其次我們來看任意一正數的次方如何定義，到目前為止我們只知有理次方的意義明確。

        設且為一有理數，則 。

上式又可改寫為 。

而此式右側對每一實數皆有定義，因此對及，我們以上式來定義： ，，。

（1） 由此定義也立即看出對，，，為一連續函數，且對任一正數 ，及任一實數，有意義了。

       由（1）式即得 ，，。

（2） 令，即，則（1）式成為 ， 。

更一般的結果為， ，， 。

（3） 另外，亦有乘積公式：   ，，。

（4） 利用指數及對數可求出一些我們以前算不出的積分及微分。

  a 例 1.在第三章『微積分基本定理』中，我們已能對每一不為之有理數，得到 。

至於，上一單元已討論過，便是導致對數。

為無理數時，若能求出定積分 ， 則便可得在任一不包含 0之區間上之定積分。

        a 例 2. 在第二章『導數的定義及基本性質』中，我們曾得到對任一有理數， 。

在此我們想將上述公式推廣至任意實數。

       a         由上二例知，對任一實數， 。

但 只對才成立。

對，只要，微分會使次方少1，積分會使次方多1。

此因時，，而1的微分為0，並非。

故不會是的某一次方，也沒有任一的次方之微分為。

幸好有將此情況補起來， ，而 。

  a 定理. 指數函數有下述性質：   (1) ， ；   (2) ， ；   (3) ， 。

  a         上定理指出， 。

（5） 這是指數函數最特殊的一個性質，即它的導數仍為它本身。

  a         其次我們來看一般以任意一正數為底的指數函數。

        我們已定義，，也定義了，，。

至於底不是的指數函數，也不難定義。

        比照（1）式，令 ， ，。

我們列出其指數的性質：   (1) ，   (2) ，   (3) ，   (4) ，   (5) ，若且唯若 ，其中 。

 a 系理.對， 。

（6）   a         由（5）式及（6）式，利用微積分基本定理，即得下述積分公式。

， ， 且。

        利用變數代換，上二式又導致更一般的關於指數的積分公式。

即對每一連續可微的函數 ， ， ，，。

  a 例 3.分別求 及 之導數。

       a        對於上例，有幾件須特別留意的。

首先設有二可微的函數 及 ，及二常數，為實數。

則 ， 。

但 並不屬於上兩類函數之一，而是有 的形式，即底與指數皆為函數。

        另外， 的運算程序如何？事實上 ， 也就是指數部分由上往下算。

一般而言 。

上式右側其實等於 ，與並不相同。

當 時，上式左側為 ，右側為 ，二者不等。

至於 或2時，上式左、右相等。

  a 例 4.求 。

     a 例 5.求 。

      a 例 6.求 。

      a 例 7.求 。

      a         最後我們來看指數函數之圖形。

  a 例8.試繪 ，，之圖形。

      a 例 9.試繪 ，，之圖形。

     a 進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  指數函數。

微積分講義第五章，國立高雄大學應用數學系。