Prob 筆記

二項分配(Binomial Distribution)與超幾何分配(hypergeometric distribution) · 二項分配 · 超幾何分配 · 兩著比較 期望值與變異數要背！ · 用Moment-Generating Function算二 ...       Published LinkedwithGitHub Like Bookmark Subscribe --- tags:大學,二下,機率 --- #Prob筆記 ###變異數公式 ==注意二式分母差別==  母體變異數：所有資料的變異數 樣本變異數：在所有資料中挑選部份資料作為樣本的變異數 ###X:RandomVariable,是一種function，定義在樣本空間$\Omega$中 ex: 考慮擲一公正銅板二次,用H表出現正面,T表出現反面,則此試驗的樣本空間是$\Omega$={HH,HT,TH,TT}, 其中HT表第一次出現正面,第二次出現反面,餘類推。

我們令隨機變數X=出現正面的次數,所以可以很清楚知道: X(HH):表出現兩個正面,所以X(HH)=2; X(HT)與X(TH):均表出現一個正面,所以X(HT)=X(TH)=1; X(TT):表沒有出現正面,所以X(TT)=0; 因此隨機變數取值在0,1和2。

###S:spaceofX,所有X()出來的值所形成的集合，以上面為例則為{0,1,2} ###IfSisafiniteorcountableinfiniteset(可數無限集合eg.整數集合、有理數集合),thenXissaidtobeadiscrete(離散的)randomvariable. ###probabilitymassfunction(p.m.f.): #####Prob(X=k)當隨機變數為不同k時所形成的機率函數 #####ForarandomvariableX,wedefineits++probabilitydistributionfunction++Fas$F_x(t)=Prob(X\let)$(a.k.aCDF) ###Uniformdistribution(均勻分佈): #####在範圍(a,b)內的出現機會均等(不限離散型分佈) 定義：$f(x)={1\overm},x=1,2,…,m$ ###Hypergeometricdistribution(超幾何分佈): #####取球實驗，++取出後不放回++，則每次再取球的機率皆不同 ex: 在伯努力試驗中，若每次成功的機率不一樣，則次試驗後，所得成功次數就不是二項分佈了。

假設袋中有個球，其中有個白球，個非白球，自其中隨機地取出個球，每次取出後不放回(withoutreplacement)。

令表總共取得之白球數  ##MathematicalExpectation(期望值)  ##standarddeviation(標準差) ###==變異數定義==  ###==推廣出的公式：==(平方的期望值-期望值的平方)  ###==線性關係==   ###==線性關係整理==  ##Moment(動差) ###==動差的意義==         ###Moment-GeneratingFunction(動差生成函數) ####==微分一次：一階動差,微分兩次：二階動差== #####==(對t微分,不是對x微分)==    ####==期望值與變異數利用動差生成函數求出==  ####==動差生成函數另一個用途:==  #####==暫不考==  ##二項分配(BinomialDistribution)與超幾何分配(hypergeometricdistribution) ###二項分配   ###超幾何分配   ###兩著比較==期望值與變異數要背！==   ###用Moment-GeneratingFunction算二項分配的期望值跟變異數   ##幾何分配(Geometricdistribution) #####P(X=x)投擲恰好x次，而在第x次時獲得成功的機率(其餘皆為失敗)  ###幾何分配==期望值==與==變異數==  ###p.m.f.vsp.d.f. #####p.m.f(probabilitymassfunction):==離散==機率變量的函數,所有可能的變量的和為1 #####p.d.f(probabilitydensityfunction):==連續==機率變量的函數,所有可能的變量範圍所積分出的面積為1 #==期中考範圍開始== ##==幾何分配與負二項分配定義：==  ###==負二項分配的PMF==  ###==幾何分配是負二項分配的特例(當k=1時)==  ##==布阿松分配== ###==布阿松分配的期望值與變異數==  ###==布阿松分配的PMF==   ##==連續型機率分佈== ###==期望值與變異數==  ###==伽瑪函數定義與性質==  ###==伽瑪分配期望值:$\alpha\beta$（背）==  ###==伽瑪分配變異數:$\alpha\beta^2$（背）==  ###==伽瑪分配的PDF（背）==  ###==指數分配是伽瑪分配$\alpha=1$的特例==  ###==指數分配的期望值與變異數==  ###==指數分配與布阿松分配的關係==  ###==無記憶性質定義==  #####==白話文：不會因為前面已經過了多久而影響要等待的時間==  ###==卡方分配是伽瑪分配$\alpha={\nu\over2},\beta=2$的特例==   #==期末考範圍開始== ##聯合機率分配 ###聯合機率質量函數(間斷型)  ###聯合機率質量函數(間斷型)  ###邊際機率分配函數: ####==X的邊際機率分配函數$f_x(x)$：對Y做SUM(積分)== ###==$f(x,y)=f_x(x)*f_y(y)\leftrightarrowX,Y\text{獨立}\rightarrow\text{可以從邊際機率函數回推聯合機率函數}$==  ###期望值定義：  ###期望值與變異數求法：  ###兩==獨立==隨機變數的期望值才可分開             × Signin Email Password Forgotpassword or Byclickingbelow,youagreetoourtermsofservice. SigninviaFacebook SigninviaTwitter SigninviaGitHub SigninviaDropbox SigninviaGoogle NewtoHackMD?Signup