Poisson 分配、指數分配與排隊理論

由上可知Poisson 分配是二項分配B(N,p,q) 的一種極限，其中Np= 常數 $\lambda T$ ，再讓 $N\rightarrow\infty$ 。

... 所以W 的機率密度函數是指數分配：.   Poisson分配、指數分配與排隊理論 翁秉仁   首頁|搜尋 ．作者任教於台大數學系 ．本文節錄改寫自作者《微積分講義》   Poisson分配 考慮下列現象：每小時服務台訪客的人數，每天家中電話的通數，一本書中每頁的錯字數，某條道路上每月發生車禍的次數，生產線上的疵品數，學生到辦公室找老師的次數……。

大致上都有一些共同的特徵：在某時間區段內，平均會發生若干次「事件」，但是有時候很少，有時又異常地多，因此事件發生的次數是一個隨機變數，它所對應的機率函數稱為Poisson分配。

一個Poisson過程有三個基本特性： (1)在一個短時間區間內，發生一次事件的機率與成正比： 。

(2)在短時間內發生兩次以上的機率可以忽略。

(3)在不重疊的時間段落裡，事件各自發生的次數是獨立的。

各位可以驗證上述各種實際的例子，是不是相當符合Poisson過程的定義？ 現令P(k,T)表示在時間區間T中發生k次事件的機率（注意T表示時間區間的長度，而不是絕對時間），由(1)(2)知 ，且 ,。

現將T分割成N個短時間區段（即），利用(3)各時間區段出現之事件是獨立的條件，可知 固定k，當 時 由上可知Poisson分配是二項分配B(N,p,q)的一種極限，其中Np=常數，再讓 。

另外，我們通常將記為m，表示在時間區間T中，平均的發生次數（見下面習題）。

習題： (1)驗證 。

(2)令 , 。

求E(X)與Var(X)。

(Ans.m,m.) 例. 一公司之電話通數大約每小時20通，求在5分鐘內一通電話也沒有的機率？ 每小時20通,表示每分鐘平均 通/分。

因此在5分鐘的時間區間中,平均的電話通數為 。

所以 所以沒有一通電話的機率 。

有了P(k)，我們可以回答許多類似的問題：在5分鐘內有4通電話的機率是 ，大概每十六次才有一次。

在5分鐘內有超過3通電話的機率是 經計算這個機率分配的期望值，標準差 。

右圖是P(k)的圖形，當然由於，所以這只是部分圖形。

讀者可與一般的二項分配的圖形比較。

例.下表是1910年Rutherford觀察放射性物質放射α粒子的記錄，每次觀察7.5秒，共觀察2608次。

粒子數 次數 頻率 P(k) 0 57 0.022 0.021 1 203 0.078 0.081 2 383 0.147 0.156 3 525 0.201 0.201 4 532 0.204 0.195 5 408 0.156 0.151 6 273 0.105 0.097 7 139 0.053 0.054 8 45 0.017 0.026 9 27 0.010 0.011 16 0.006 0.007 這裡P(k)=P(k,7.5)，其中 ，m=3.87（見表最末欄），為7.5秒中α粒子放射之平均個數。

可以看到，如果假設α粒子的放射是一Poisson過程，結果相當吻合。

例.令一放射性物質在時間t時所含之放射性粒子總量為N(t)，如果假設放射粒子是一Poisson過程，則在短時間後， 注意到 是一期望值的形式。

所以 這可看成輻射定律的「證明」。

  對外搜尋關鍵字：．輻射定律   指數分配與排隊理論 令W表示在Poisson過程中，由開始到第一次事件發生的時間（這是一隨機變數）。

由上節知 但 所以 這個機率分配稱為指數分配。

可計算得 ，這就是第一次事件發生的平均時間。

另外， 。

現在讓我們討論排隊理論。

排隊的現象無所不在：買各種票、吃自助餐、超商、百貨公司……等。

顧客揣度「應該排那一服務櫃台會比較快？」「到底還要排多久？」是城市生活的基本問題；相對的，商家也要盤算到底在何時要開幾個窗口櫃台才符合成本，探討這個問題的數學理論通稱為排隊理論，而指數分配經常被用到排隊理論，當作服務客人時間（這是一隨機變數）的機率密度函數。

讓我們假設某櫃台，服務客人的平均時間為μ，想像在服務結束後，櫃員會亮燈請下一位客人進來，則亮燈的平均時間是μ。

若將「燈亮」視為一事件發生，則亮燈的過程近似於一Poisson過程。

而且前面定義的W正好表示兩次亮燈間的間隔。

所以W的機率密度函數是指數分配： 例. 現假設一櫃台平均服務時間為3分鐘，設等待時間的機率密度函數為 (1)等候時間超過6分鐘的機率是多少？ 事實上，等候超過T分鐘的機率是 。

(2)另一個合理的問題是，如果在我前面還有另一個客人，則我怎麼描述，我等待時間的機率分配呢？ 令W1是第一個客人等待的時間，W2是第一個客人開始被服務後，我所等待的時間，則 ，而且總等待時間U=W1+W2，另外顯然W1與W2是互相獨立的。

所以我們的問題就是要計算fU(t)，由309頁例子的方法，可以計算得 或者，如果將指數分配fW(t)想成是 分配，則此相當於 因此如果我們想知道總等候時間不超過5分鐘的機率，則 有一半的機會。

(3)如果前面有n-1個客人時，則可定義 ，其中Wi彼此獨立，由Gamma分配性質知 ，即 這告訴我們 分配與排隊理論的關係。

我們將細節留作習題。

習題： (1)超級市場一服務員平均服務時間為2分鐘，若用指數分配當作等候時間之機率分配，則機率密度函數是什麼？ (2)如果他正開始服務一位客人，而你前面還有一位客人在等候，則你會等超過6分鐘的機率是多少？ (3)若服務員甲平均服務時間為2分鐘，而服務員乙之平均服務時間為3分鐘，如果你選擇乙，你朋友選擇甲，且一起開始接受服務，則你會比朋友快的機率是多少？（當然甲與乙的服務是相互獨立的） 你能給出一個一般的計算公式嗎？     （若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。

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