指數分布- 維基百科，自由的百科全書

在機率論和統計學中，指數分布（英語：Exponential distribution）是一種連續機率分布。

指數分布可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，比如旅客進入機場的時間 ... 指數分布 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 指數分配 機率密度函數 累積分布函數母數 λ > 0 {\displaystyle\lambda>0\,} 率值域 x ∈ [ 0 ; ∞ ) {\displaystylex\in[0;\infty)\!} 機率密度函數 λ e − λ x {\displaystyle\,\lambdae^{-\lambdax}} 累積分布函數 1 − e − λ x {\displaystyle1-e^{-\lambdax}} 期望值 λ − 1 {\displaystyle\lambda^{-1}\,} 中位數 ln ⁡ ( 2 ) / λ {\displaystyle\ln(2)/\lambda\,} 眾數 0 {\displaystyle0\,} 變異數 λ − 2 {\displaystyle\lambda^{-2}\,} 偏度 2 {\displaystyle2\,} 峰度 6 {\displaystyle6\,} 熵 1 − ln ⁡ ( λ ) {\displaystyle1-\ln(\lambda)\,} 動差母函數 ( 1 − t λ ) − 1 {\displaystyle\left(1-{\frac{t}{\lambda}}\right)^{-1}\,} 特徵函數 ( 1 − i t λ ) − 1 {\displaystyle\left(1-{\frac{it}{\lambda}}\right)^{-1}\,} 在機率論和統計學中，指數分布（英語：Exponentialdistribution）是一種連續機率分布。

指數分布可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。

目次 1記號 2特性 2.1期望值與變異數 2.2無記憶性 2.3與泊松過程的關係 2.4四分位數 3參數估計 3.1最大概似法 4參見 5參考文獻 6外部連結 記號[編輯] 指數分布即形狀母數α為1的伽瑪分布。

若隨機變數 X {\displaystyleX} 服從母數為 λ {\displaystyle\lambda} 或 β {\displaystyle\beta} 的指數分布，則記作 X ∼ Exp ( λ ) {\displaystyleX\sim{\text{Exp}}(\lambda)} 或 X ∼ Exp ( β ) {\displaystyleX\sim{\text{Exp}}(\beta)} 兩者意義相同，只是 λ {\displaystyle\lambda} 與 β {\displaystyle\beta} 互為倒數關係。

只要將以下式子做 λ = 1 β {\displaystyle{\color{Red}\lambda={\frac{1}{\beta}}}} 的替換即可，即，指數分布之機率密度函數為： f ( x ; λ ) = { λ e − λ x x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystylef(x;{\color{Red}\lambda})=\left\{{\begin{matrix}{\color{Red}\lambda}e^{-{\color{Red}\lambda}x}&x\geq0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.} 或 f ( x ; β ) = { 1 β e − 1 β x x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystylef(x;{\color{Red}\beta})=\left\{{\begin{matrix}{\color{Red}{\frac{1}{\beta}}}e^{-{\color{Red}{\frac{1}{\beta}}}x}&x\geq0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.} 累積分布函數為： F ( x ; λ ) = { 1 − e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyleF(x;{\color{Red}\lambda})=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\color{Red}{\lambda}x}&,\;x\geq0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.} 或 F ( x ; β ) = { 1 − e − 1 β x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyleF(x;{\color{Red}\beta})=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-{\color{Red}{\frac{1}{\beta}}}x}&,\;x\geq0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.} 其中λ>0是分布的母數，即每單位時間發生該事件的次數；β為比例母數，即該事件在每單位時間內的發生率。

兩者常被稱為率母數（rateparameter）。

指數分布的區間是[0,∞)。

特性[編輯] 期望值與變異數[編輯] 隨機變數X(X的母數為λ或β)的期望值是： E ( X ) = 1 λ = β {\displaystyle\mathbf{E}(X)={\frac{1}{\color{Red}{\lambda}}}={\color{Red}\beta}} 例如：如果你平均每個小時接到2次電話，那麼你預期等待每一次電話的時間是半個小時。

X的變異數是： V a r ( X ) = 1 λ 2 = β 2 {\displaystyle\mathbf{Var}(X)={\frac{1}{\color{Red}{\lambda^{2}}}}={\color{Red}\beta^{2}}} X的偏態係數是： V[X]=1 無記憶性[編輯] 指數函數的一個重要特徵是無記憶性（MemorylessProperty，又稱遺失記憶性）。

這表示如果一個隨機變數呈指數分布，它的條件機率遵循： P ( T > s + t | T > t ) = P ( T > s ) forall   s , t ≥ 0. {\displaystyleP(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{forall}}\s,t\geq0.} 與卜瓦松過程的關係[編輯] 卜瓦松過程是一種重要的隨機過程。

卜瓦松過程中，第k次隨機事件與第k+1次隨機事件出現的時間間隔服從指數分布。

而根據卜瓦松過程的定義，長度為t的時間段內沒有隨機事件出現的機率等於 e − λ t ( λ t ) 0 0 ! = e − λ t {\displaystyle{\frac{e^{-\lambdat}(\lambdat)^{0}}{0!}}=e^{-\lambdat}} , 長度為t的時間段內隨機事件發生一次的機率等於 e − λ t ( λ t ) 1 1 ! = e − λ t λ t {\displaystyle{\frac{e^{-\lambdat}(\lambdat)^{1}}{1!}}=e^{-\lambdat}\lambdat} , 所以第k次隨機事件之後長度為t的時間段內，第k+n次(n=1,2,3,...)隨機事件出現的機率等於 1 − e − λ t {\displaystyle1-e^{-\lambdat}} 。

這是指數分布。

這還表明了卜瓦松過程的無記憶性。

四分位數[編輯] 率母數λ的四分位數函數（Quartilefunction）是： F − 1 ( p ; λ ) = − ln ⁡ ( 1 − p ) λ , {\displaystyleF^{-1}(p;\lambda)={\frac{-\ln(1-p)}{\lambda}},\!} 第一四分位數： ln ⁡ ( 4 / 3 ) / λ {\displaystyle\ln(4/3)/\lambda\,} 中位數： ln ⁡ ( 2 ) / λ {\displaystyle\ln(2)/\lambda\,} 第三四分位數： ln ⁡ ( 4 ) / λ {\displaystyle\ln(4)/\lambda\,} 母數估計[編輯] 最大概似法[編輯] 給定獨立同分布樣本x=(x1,...,xn)，λ的概似函數（Likelihoodfunction）是： L ( λ ) = ∏ i = 1 n λ exp ⁡ ( − λ x i ) = λ n exp ( − λ ∑ i = 1 n x i ) = λ n exp ⁡ ( − λ n x ¯ ) {\displaystyleL(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\lambda\,\exp(-\lambdax_{i})=\lambda^{n}\,\exp\!\left(\!-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda^{n}\exp\left(-\lambdan{\overline{x}}\right)} 其中： x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle{\overline{x}}={1\overn}\sum_{i=1}^{n}x_{i}} 是樣本期望値。

概似函數對數的導數是： d d λ ln ⁡ L ( λ ) = d d λ ( n ln ⁡ ( λ ) − λ n x ¯ ) = n λ − n x ¯   { > 0 if   0 < λ < 1 / x ¯ , = 0 if   λ = 1 / x ¯ , < 0 if   λ > 1 / x ¯ . {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}}\lnL(\lambda)={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}}\left(n\ln(\lambda)-\lambdan{\overline{x}}\right)={n\over\lambda}-n{\overline{x}}\\left\{{\begin{matrix}>0&{\mbox{if}}\01/{\overline{x}}.\end{matrix}}\right.} 母數λ的最大概似估計（Maximumlikelihood）值是： λ ^ = 1 x ¯ {\displaystyle{\widehat{\lambda}}={\frac{1}{\overline{x}}}} 參見[編輯] 拉普拉斯分布（又稱：雙指數分布） 幾何分布 參考文獻[編輯] DonaldE.Knuth(1998).TheArtofComputerProgramming,volume2:SeminumericalAlgorithms,3rdedn.Boston:Addison-Wesley.ISBN0-201-89684-2.pp.133 LucDevroye(1986).Non-UniformRandomVariateGeneration.NewYork:Springer-Verlag.ISBN0-387-96305-7.pp.392–401 外部連結[編輯] 指數分布（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 閱論編機率分布列表（英語：Listofprobabilitydistributions）有限支集離散單變數 本福德 伯努利 β-二項式 二項 分類（英語：Categoricaldistribution） 超幾何 卜瓦松二項（英語：Poissonbinomialdistribution） 拉德馬赫（英語：Rademacherdistribution） 離散均勻 齊夫 齊夫-曼德爾布羅特（英語：Zipf–Mandelbrotlaw） 無限支集離散單變數 β-負二項（英語：Betanegativebinomialdistribution） 鮑萊耳（英語：Boreldistribution） 康威-麥克斯韋-卜瓦松（英語：Conway–Maxwell–Poissondistribution） 離散相型（英語：Discretephase-typedistribution） 德拉波特（英語：Delaportedistribution） 擴展負二項 高斯-庫茲明 幾何 對數 負二項 拋物線碎形 卜瓦松 Skellam 尤爾-西蒙 ζ 緊支集連續單變數 反正弦 ARGUS 巴爾丁-尼科爾斯 貝茨 Β Β動差形 歐文-霍爾 庫馬拉斯瓦米 分對數常態 非中心β 升餘弦 倒數 三角形 U-二次型 連續均勻 維格納半圓 半無限區間支集連續單變數 貝尼尼 第一類本克坦德 第二類本克坦德 Β' 伯爾 χ² χ Dagum 戴維斯 指數-對數 愛爾朗 指數 F 摺疊常態 弗洛里-舒爾茨（英語：Flory–Schulzdistribution） 弗雷謝 Γ Γ/岡珀茨 廣義逆高斯 岡珀茨 半邏輯 半常態 霍特林T-方 超愛爾朗 超指數 次指數 逆χ² 縮放逆χ² 逆高斯 逆Γ 科摩哥洛夫 列維 對數柯西 對數拉普拉斯 對數邏輯 對數常態 動差陣指數 麥克斯韋-玻耳茲曼 麥克斯韋-於特納 米塔格-萊弗勒 中上 非中心χ² 柏拉圖 相型 保利-韋伯 瑞利 相對布萊特-維格納分布 萊斯 移位岡珀茨 截斷常態 第二類岡貝爾 韋伯 離散韋伯 威爾克斯λ 無限區間支集連續單變數 柯西 指數冪 費雪z 高斯q 廣義常態 廣義雙曲 幾何穩定 岡貝爾 赫魯茲馬克 雙曲正割 詹森SU 朗道 拉普拉斯 非對稱拉普拉斯 邏輯 非中心t 常態（高斯） 常態逆高斯 偏斜常態 斜線 穩定 學生t 第一類岡貝爾 特雷西-威登 變異數-γ 福格特 可變類型支集連續單變數 廣義極值 廣義柏拉圖 圖基λ Q-高斯 Q-指數 Q-韋伯 移位對數邏輯 混合連續離散單變數 調整高斯 多元（聯合） 離散 尤恩斯 多項 狄利克雷多項 負多項 連續 狄利克雷 廣義狄利克雷 多元常態 多元穩定 多元t 常態縮放逆γ 常態γ 動差陣 逆動差陣γ 逆威沙特 動差陣常態 動差陣t 動差陣γ 常態逆威沙特 常態威沙特 威沙特 定向（英語：Directionalstatistics） 一元（圓形） 圓形均勻 一元馮·米塞斯 環繞常態 環繞柯西 環繞指數 環繞非對稱拉普拉斯 環繞列維 二元（球形） 肯特 二元（環形） 二元馮·米澤斯 多元 馮·米澤斯-費雪 賓漢姆 退化和奇異（英語：Singulardistribution） 退化 狄拉克δ 奇異 康托爾 族 圓形 複合卜瓦松 橢圓 指數 自然指數 位置尺度 最大熵 混合 皮爾森 特威迪 環繞 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=指数分布&oldid=69889957」 分類：​連續分布指數隱藏分類：​使用過時圖像語法的頁面含有英語的條目使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةAsturianuবাংলাCatalàČeštinaDeutschΕλληνικάEnglishEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתMagyarItaliano日本語한국어NederlandsPolskiPortuguêsРусскийSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSundaSvenskaไทยTürkçeУкраїнськаTiếngViệt粵語 編輯連結