從生活認識微積分（三）：極限與無窮的定義 - 方格子

這是微積分科普系列文章的第三篇，本文分成兩個部分。

第一部分：由於上文以極限的反思作結，告訴讀者透過實驗與推測，不能確定函數的極限， ... 取消從生活認識微積分（三）：極限與無窮的定義Caspar追蹤從生活認識微積分（三）：極限與無窮的定義Caspar發佈於從生活看數學追蹤2018-06-29|閱讀時間約8分鐘作者：Pixabay，來源：https://www.pexels.com/photo/books-in-black-wooden-book-shelf-159711/，授權方式：CC0License 這是微積分科普系列文章的第三篇，本文分成兩個部分。

第一部分：由於上文以極限的反思作結，告訴讀者透過實驗與推測，不能確定函數的極限，因此本文將以嚴格的數學定義，說明如何證明函數的極限，回答上文中的反思問題，了解定義後，未來再證明函數極限的加、減、乘、除；第二部分：將以生活對話向你解釋「無限大、無限小」的概念，已預備之後的科普主題，如：包含無限的極限、漸近線定義、微分、積分的觀念。

一、直覺定義「極限」的反思 　　「極限」就是「靠近、趨近」的觀念，所以上文僅透過實驗將「-1.1,-1.01,-0.9,-0.99」等靠近-1的x值，代入二次函數計算，再透過計算結果推測，當x越靠近-1時，函數值y越靠近0，本文就稱函數的極限為0。

這是非常不嚴謹的推論，猜測雖然奠基在可靠的事實：「函數值越來越趨近0」上，但我們沒有證明，函數可以不斷的靠近0。

就好像我們觀賞一場比賽，到最後一刻仍可能會翻盤；又好像聆聽樂曲，雖然樂曲已經快要到尾聲，八九不離十，但你仍無法確保最後樂曲的終止式為何，數學確保一切的定理皆能嚴謹的證明，因此本文將引入極限的嚴格定義。

二、日常生活中如何「壓縮」距離 　　如何證明函數會趨近極限值？先來想想生活中的例子：若在一個房間內，有許多本書和許多筆，怎樣可以讓物品間的距離壓縮？是將物品收納、分類，讓書之間的距離縮小到一個幾公分的書架匡裡，將筆全部收納在筆筒，讓兩隻筆間的距離縮小到一個圓筆筒的直徑以內，還是將書、筆通通散落在桌上、地上呢？答案是顯而易見的，需要書架、筆筒來限制筆與筆、書與書之間的距離，而越小的筆筒，格子排得越整齊、密集的書架，越可將將物品間的距離縮小。

　　在數學中也是如此，函數極限要證明的便是，x趨近於a時，函數值是否趨近於某個極限值L，趨近就是指兩者距離能夠壓縮至任意小，在數學世界裡，目標不是用收納的書架、筆筒、櫃子，壓縮「物品」與「物品」間的距離，而是壓縮「函數值f(x)」與「極限值L」的距離。

三、極限的嚴格定義 　　你必須先了解本文要克服的兩個問題：第一：現實生活裡，你不需要將物品與物品間的距離，用精確的數學表示，但在數學世界裡，你必須先將數和數之間的距離，用數學符號表示，才能方便後續的壓縮動作；第二：就如書架的框架、筆筒的大小，能將筆、書之間的距離壓縮，我們也可以利用不等式，替兩數的距離加上一個變數代號，我們把這個變數代號當作框架來用，可以限制數與數之間的距離。

利用不等式「小於