圖靈機正式面世80年︰一個與現實毫不相干的問題為人類帶來了 ...

圖靈的眾多貢獻當中，最為重要的正是1936年這份論文，因為在文中他首次提出「圖靈機」這個概念——文中他稱為a-機器，a代表「自動」（automatic）——為現代 ... 集團資訊關於我們集團介紹我們的團隊旗下媒體關鍵評論網everylittled.INSIDE運動視界Cool3c電影神搜未來大人物歐搜哇商益旗下節目多元服務Ad2Taketla拿票趣關鍵議題研究中心Cr.EDShareParty達思智能科技士奇傳播與我們合作內容行銷與廣告業務異業合作原創內容暨內容媒體業者合作加入我們新聞中心 2016/12/02,科學KayueFactcheckLab執行編輯，曾任《關鍵評論網》編輯，最想寫的還是數學。

        看更多此作者文章...訂閱作者收藏本文每月一杯咖啡的金額，支持優質觀點的誕生，享有更好的閱讀體驗。

立即支持1936年11月30日出版的《倫敦數學學會會刊》（ProceedingsoftheLondonMathematicalSociety），有一篇標題看來平平無奇的文章︰〈論可計算數及其在判定問題上的一個應用〉（Oncomputablenumbers,withanapplicationtotheEntscheidungsproblem），作者是圖靈（AlanTuring）。

2012年，圖靈誕生100周年，學界將該年訂為「圖靈年」，舉辦活動以紀念其重大貢獻。

2014年電影《模仿遊戲》亦講述了圖靈於二戰時協助破解德軍密碼的故事（雖然忽略了波蘭數學家的貢獻），相信不少人對圖靈的名字、貢獻及其因同性戀傾向被迫害的經歷略有所聞。

圖靈的眾多貢獻當中，最為重要的正是1936年這份論文，因為在文中他首次提出「圖靈機」這個概念——文中他稱為a-機器，a代表「自動」（automatic）——為現代電腦、電腦科學及計算理論奠下數學基礎。

當然，除圖靈以外，他之前及之後均有不少人對電腦發展貢獻良多。

不過今日（編按：作者撰文於11月30日）——〈論可計算數〉第一部份發表80周年（第二部份於同年12月23日發表），讓我們先看一看他的「圖靈機」為何如此重要。

數學基礎一切源自一個貌似非常「離地」、與現實毫不相干的問題︰我們如何確定數學知識可靠？19世紀，數學發展越來越抽象，因此亦出現了各種公理系統——公理是指被視作「不證自明」的命題，數學家以公理為基礙，再用邏輯推論出不同數學定理。

但到了20世紀初，有批數學家（以及關心數學的哲學家）開始擔心數學知識不夠穩固，他們想確保由特定公理出發，不會推論出矛盾——假如有矛盾的話，數學就完了。

他們不是杞人憂天，當時集合論中出現了數個悖論（指一種導致矛盾的命題），或會導致數學出現矛盾。

幸運的話，有些悖論可以透過引入新概念去解決，例如自數學界出現「極限」的嚴格定義後，甚少人會認為「阿基里斯永遠無法追上烏龜」的芝諾悖論是個問題。

那個時候這批數學家大概分成三派，其中一派是數學家希爾伯特（DavidHilbert）主導的「形式主義」。

簡略來說，形式主義者希望藉由把數學還原成純粹符號的形式系統，再用（有限制的）數學去證明這個系統不會出現「0=1」之類的矛盾句，從而確保數學不會產生矛盾。

羅素（BertrandRussell）及懷海德（AlfredWhitehead）三大冊《數學原理》（PrincipiaMathematica），則是從邏輯主義出發，嘗試以邏輯公理推導出整個數學系統——他們想的是，既然邏輯不可能自相矛盾，只要證明數學是由邏輯延伸出來，就可以確保數學一致。

兩人終告失敗（原因並非本文重點），不過書中改良自弗雷格（GottlobFrege）的邏輯系統，促進了數理邏輯發展。

其後邏輯學家整理出一套現稱為「一階邏輯」的系統，包含若干邏輯公理和推導規則，由此出發可以推導出不少已知的邏輯定理，是個很好用的系統。

判定問題回到希爾伯特，他想完全將數學化約成一個僅有符號的形式系統（這方面羅素及懷海德貢獻了不少），只要按照規則，完全不懂數學、不知道符號意義的人也可以推演出「數學定理」，這樣就可以撇除人為錯誤（例如受直覺誤導）。

他又希望找到一套清晰的判定程序，去確認如何判斷一個邏輯公式是否屬於邏輯系統的定理，假如成功，下一個目標自然是判斷數學命題是否數學定理——這樣數學家就不用再苦苦思索那些懸而未決的數學猜想，只要一起運行這個「判定程序」，就可以獲得答案，簡單直接。

不過，希爾伯特於1928年提出的這個「判定問題」（Entscheidungsproblem），在1935至1936年期間，分別由數學家邱奇（AlonzoChurch）及圖靈獨立得出答案︰不可能。

要解決判定問題，首先需要釐清一個概念︰何謂「清晰的判定程序」？當然，有一些條件非常明顯，例如程序必須是有限的——僅包含有限條規則、能夠在有限時間完成。

程序當中的規則也必須極之簡單，以符合希爾伯特的要求。

舉個例，假如我要教一位小學生判定一個數字以否質數，可以利用他懂得「整數」、「除數」、「餘數」和「比較大小」等概念，去讓他按照程序執行，然後他就會發現7是質數、8不是質數、9不是質數…但希爾伯特所要求的還要更少——執行規則的人只能夠辨認符號（不會把不同的符號混淆）、抄寫符號、按照規則把符號串轉換等，甚至不懂「加減乘除」等基本數學運算，也不會知道數學符號的意思。

圖靈機終於回到圖靈的論文，在〈論可計算數〉中他設想以下一部機器，包含以下部份︰ 一條紙帶，這條紙帶分成一格一格的（好吧聽起來的確有點像廁所衛生紙），每格可以印一個符號。

第一格的編號為0，然後是1、2、3…沒有盡頭，以◻表示空格。

可以在紙帶上左右移動的讀寫頭，它每次能夠讀取所處位置那一格的內容（同一時間只可讀取一格），亦可以改變其內容——改寫其他符號或變成空格。

會存在機器目前狀態（state）的狀態暫存器，每部機器的可能狀態數目有限，其中一個稱為「開始狀態」，就是機器一開始時所處的狀態。

儲存所有規則的指令集，機器會根據其目前狀態以及讀寫頭當時讀取的方格內容來執行指令，進行下一步動作。

上述4個部份當中，決定機器如何運作的是指令集及狀態。

為方便說明，以下機器的狀態以顏色表示，而符號只有0、1及◻（空格）。

圖靈把指令限制在這個形式︰ 當處於Ａ狀態並讀取到符號Ｘ時，寫入符號Ｙ，移動讀寫頭，並轉至Ｂ狀態。

以下是一些例子︰ 當處於紅色狀態並讀取到符號0時，寫入符號1，讀寫頭左移一格，並轉至藍色狀態。

當處於黃色狀態並讀取到符號1時，寫入符號1（即維持原狀），讀寫頭留在原處，並維持在紅色狀態。

當處於藍色狀態並讀取到符號0時，清除符號（變成空格◻），讀寫頭右移一格，並轉至黃色狀態。

如果沒有適用的指令時，這部設想中的機器——後世稱為圖靈機——就會停止運作。

PhotoCredit:RockyAcosta,CCBY3.0一個圖靈機模型。

不同圖靈機分別，在於它們擁有不同的可能狀態以及指令集——事實上，我們只需要看一部圖靈機的指令集，就知道它可以有甚麼狀態，因此可以說，圖靈機的指令集（以及一開始時紙帶上的內容）決定了它如何運作。

12»全文閱讀不想分頁？試試看我們的新服務猜你喜歡最新發展：從圖靈機到人工智能：令電腦強大的數學4年前從涂林機到人工智慧：誰讓電腦強大？是數學！4年前Tags：圖靈圖靈機電腦通用圖靈機數學邏輯數理邏輯希爾伯特哥德爾GottlobFregeAlonzoChurch邱奇—圖靈論題More... Sponsored2022/09/09,生活PhotoCredit：pCloud廣編企劃由關鍵評論網媒體集團《業務團隊》製作，由各品牌單位贊助。

業務與行銷相關合作，歡迎與我們聯繫。

看更多此作者文章...訂閱作者收藏本文每月一杯咖啡的金額，支持優質觀點的誕生，享有更好的閱讀體驗。

立即支持現在就選擇你想要的pCloud終身版容量！雲端空間已經是現代人必備的訂閱服務，不過每個月或是每年都要繳納訂閱費用，會不會讓你覺得「訂越久虧越多？」。

其實雲端空間不只有訂閱制服務，來自瑞士的雲端儲存品牌pCloud就有推出少見的「終身」雲端空間方案，能夠一勞永逸買下雲端空間，而且沒有額外設定費。

趁著最近中秋節的促銷活動，還能享有最低2折的超優惠價格，10TB個人終身雲端空間只要990歐元，另外對於低用量的個人用戶，也有很划算的500GB、2TB終身方案只要122.5歐元與245歐元，趁著優惠一次購入，用越久越划算！ 來自瑞士、重視安全的雲端服務：pCloud市面上不少便宜的雲端服務，但雲端服務跟個人資料保護密切相關，但在訂閱前，建議使用者還是要了解一下提供服務的公司會比較安心。

pCloud是來自瑞士的雲端服務品牌，它在2013年創立已經有9年的歷史，並且位於重視資訊安全的歐盟，全球已經有1600萬用戶使用其雲端服務，是老牌的雲端服務。

當你註冊時可以選擇資料存放於美國或是歐盟，會受到當地法律的保護之外，pCloud也會將資料分散成5個副本存放於多個伺服器增加安全性。

另一方面檔案傳輸時都採用TLS/SSL加密增加安全，所有檔案也都享有256位元AES加密防護。

對於資料特別重視的用戶，也可以額外選配pCloudCrypto加密服務。

pCloud跟多數雲端服務一樣有免費容量可以使用，只要申請就有10GB容量能試用看看，覺得好用再訂閱也不吃虧。

訂閱方式則有月繳、年繳、終身這幾種方式，終身制是pCloud比較特別的制度，只要繳納一次費用就能終身使用，沒有額外的設定費或是其他支出。

除此之外，pCloud也有5人共用的家庭版本，而且也有家庭的終身方案，價格只比個人方案貴一點點，對於用量大的用戶來說，我認為是個很超值的選擇。

PhotoCredit：pCloudpCloud來自瑞士，資料可選擇保存在美國或是歐盟，會受當地法律所保護外，pCloud也會將資料儲存成5份副本放置於不同伺服器上分散風險。

PhotoCredit：pCloud註冊後就能立即使用體驗版，傳輸速度非常快十多張照片一下就上傳完畢。

PhotoCredit：pCloudpCloud不只是只有雲端空間功能，也具備協作、檔案管理、同步、備份等功能。

3種超值個人終身方案買這次用一輩子這次pCloud中秋優惠方案中，最超值的是個人終身方案，共有500GB、2TB、10TB方案可供選擇，終身使用的價格分別是122.5歐元（2.4折）、245歐元（2.5折）、990歐元（2折）。

前述價格都是最終價格，沒有額外的設定費等不透明費用，非常適合做為長期使用的雲端儲存空間。

當然在購買前你也可以先使用它的10GB免費方案，試試看它在手機與電腦的同步功能，先體驗再買也不遲。

PhotoCredit：pCloudpCloud最棒的就是有多種付費方式，月繳、年繳或是終身都能自由選擇。

此為年繳方案的費用，共有500GB與2TB版本可選。

PhotoCredit：pCloud不少人都是衝著pCloud的終身方案而來，趁著打折一次買好非常划算。

目前共有500GB、2TB、10TB方案可供選擇，另外家庭方案也有終身方案可選擇。

PhotoCredit：pCloud家庭方案可供5人使用，2TB終身版本為500歐元。

PhotoCredit：pCloud如果家庭成員每個人都想要比較大的容量，那麼也可以選擇10TB終身方案。

PhotoCredit：pCloudpCloud家用版最好的就是讓你分擔費用，而且能更有效地運用容量。

PhotoCredit：pCloud從幾個常見的雲端服務不難看出年繳不如終身版買斷，只要用個3年以上就能回本。

現在就選擇你想要的pCloud終身版容量！跨平台5大系統都能用網頁版也沒問題使用雲端服務最擔心支援性不足，pCloud針對這點提供了Windows、macOS、Linux、Android、iOS最常見的5大平台應用程式或App，讓你不論用什麼方式都能跨平台方便地使用pCloud做為溝通的媒介。

當然，如果要使用瀏覽器來開啟網頁版pCloud也沒問題，端看你的使用環境而定。

除了支援的作業系統，有人可能會問說，那pCloud是否有支援其他服務的備份呢？這點pCloud也有想到，它可支援Dropbox、GoogleDrive、GooglePhotos、OneDrive，甚至是Facebook也有支援，不論在支援度或是實用性方面都能滿足個人需求。

PhotoCredit：pCloud網頁版應該是大家最常用的版本，操作十分簡單而且介面簡潔易懂。

PhotoCredit：pCloud手機也能安裝pCloudApp，並且能同步手機內的相片與資料。

PhotoCredit：pCloud電腦也能安裝pCloud且不論是Windows、macOS、Linux都沒問題，只可惜介面是英文沒有中文。

pCloud優缺點分析整理說了這麼多整理一下pCloud的優缺點給大家參考一下，首先pCloud的優點在於提供豐富且超值的月繳、年繳、終身方案，尤其是終身方案是多數雲端空間所沒有的選擇，同時也有家庭方案、商用方案十分全面。

其次pCloud支援跨平台使用，不論手機或電腦都能使用，且檔案大小沒有限制。

最後是pCloud重視安全性，不僅能讓你選擇資料位置另外也有分散儲存降低風險，傳輸過程也有加密保護料不外流。

至於在缺點方面，如果要使用更高階的pCloudCrypto加密服務，得要加價選配才行。

另外就是Windows版本介面為英文，沒有中文介面稍嫌可惜。

整體而言，pCloud具備安全性與可靠性，並且有多種方案可供選擇，還有能一勞永逸的終身方案。

趁著特價優惠時段購買終身制是較為划算的選擇，如果還是覺得負擔有點大，那麼你也可以考慮跟家人一起選擇家庭方案，價格只比個人方案貴一點，但是可以5個人分攤減輕負擔。

最後記住，pCloud中秋節優惠時間為2022年9月9日至2022年9月13日，要買趁現在，錯過還要等一年！現在就選擇你想要的pCloud終身版容量！ 猜你喜歡Tags：雲端服務終身方案雲端服務2TB家庭方案500GpCloud10TBMore...資深「台港人」：在台灣也可以過港式生活13則觀點防疫宿舍只提供境外生？政大身障生室友確診，被要求回400公里外屏東偏鄉家中隔離11則觀點【國際大風吹】中秋夜團圓、美中搶登月，「月球」將成為國際霸權新戰場？1則觀點柯市府禁止台北三大湖泊划船／划立槳的四個理由，沒有一項經得起基本邏輯與法律人權檢視1則觀點葡萄牙男子在自宅發現歐洲最大恐龍化石，對伊比利亞半島古生物學研究意義重大1則觀點「重縫」婆羅洲邊緣：印尼遷都婆羅洲，能讓當地棕櫚油經濟實現產業升級嗎？1則觀點克林頓講德文1則觀點改稱號、發表宣言、成為24億大英國協人民元首，查爾斯成為英國國王之路1則觀點俄烏戰爭的最後關鍵在克里米亞半島，萬一戰事進入冬季，壓力將會在俄羅斯這一邊1則觀點一些歐洲人常覺得，中國終會出現戈巴卓夫般的人物1則觀點