九十三學年度數學學科能力測驗 - 艾利歐領域

數學考科 ... 作答方式： ... 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。

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填答選擇題時，只用1，2，3，4，5等五個格子，而不需要用到 ... 主頁 關於我 考古題詳解 贊助本站 2018年7月11日星期三 九十三學年度數學學科能力測驗 大學入學考試中心九十三學年度學科能力測驗試題數學考科－作答注意事項－考試時間：$100$分鐘題型題數：單一選擇題$6$題，多重選擇題$5$題，填充題第$A$至$I$題共$9$題作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液答錯不倒扣作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。

請仔細閱讀下面的例子。

填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。

例：若第$1$題的選項為(1)$3$(2)$5$(3)$7$(4)$9$(5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：$\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：$\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：$\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：$\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$※試題後附有參考公式及可能用到的對數值、參考數值與常用對數表第一部分：選擇題單一選擇題說明：第$1$至$6$題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。

已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為$15$，偶數項之和為$30$，則下列哪一選項為此數列之公差？$1$$2$$3$$4$$5$訣竅按等差數列的特性將兩個級數相減後可獲得關於公差的資訊。

解法由題設可得兩式$\begin{aligned}&a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=15,\\&a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=30\end{aligned}$第二式減去第一式可得$5d=15$，其中$d$為公差，如此解得$d=3$，應選(3)。

下列選項中的數，何者最大？　　［其中$n!=n\times\left(n-1\right)\times\cdots\times2\times1$］$100^{10}$$10^{100}$$50^{50}$$50!$$\displaystyle\frac{100!}{50!}$訣竅試圖改寫為$50$個數字的相乘後觀察其中的數字大小後來判斷之。

解法首先可以注意到$100^{10}=10^{20}$，故小於$10^{100}$，再者$10^{100}=100^{50}>50^{50}$，故在選項(1)(2)(3)中以選項(2)最大。

再者，$50^{50}$表$50$自乘$50$次而$50!=1\times2\times\cdots\times50$，從而$50^{50}>50!$。

至此可知在選項(1)(2)(3)(4)中以選項(2)最大。

最後，注意到$10^{100}=100^{50}$，即$100$自乘$50$次，而$\displaystyle\frac{100!}{50!}=51\times52\times\cdots\times100$，從而選項(2)最大，應選(2)。

右圖陰影部分所示為複數平面上區域$\displaystyleA=\left\{z:z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right),~0\leqr\leq1,~\frac{3\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{5\pi}{4}\right\}$之略圖。

令$D=\left\{w:w=z^3,~z\inA\right\}$，試問下列選項中之略圖，何者之陰影部分與區域$D$最接近？訣竅利用棣美弗定理求出$D$所指示的區域。

解法利用棣美弗定理可知$\displaystyle\begin{aligned}D=&\left\{w:w=r^3\left(\cos3\theta+i\sin3\theta\right),~0\leqr\leq1,~\frac{3\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{5\pi}{4}\right\}\\=&\left\{w:w=s\left(\cos\phi+i\sin\phi\right),~0\leqs\leq1,~\frac{9\pi}{4}\leq\phi\leq\frac{15\pi}{4}\right\}\\=&\left\{w:w=s\left(\cos\phi+i\sin\phi\right),~0\leqs\leq1,~\frac{\pi}{4}\leq\phi\leq\frac{7\pi}{4}\right\}\end{aligned}$亦即$D$為長度不超過$1$且幅角介於$\displaystyle\frac{\pi}{4}$、$\displaystyle\frac{7\pi}{4}$的區域，故選(5)。

在坐標空間中給定兩點$A\left(1,2,3\right)$與$B\left(7,6,5\right)$。

令$S$為$xy$-平面上所有使得向量$\overset{\rightharpoonup}{PA}$垂直於向量$\overset{\rightharpoonup}{PB}$的$P$點所成的集合，則$S$為空集合$S$恰含一點$S$恰含兩點$S$為一線段$S$為一圓訣竅兩個向量垂直表示兩向量內積為$0$。

解法設$P$之坐標為$\left(x,y,0\right)$，那麼由兩向量垂直可知$\left(1-x\right)\left(7-x\right)+\left(2-y\right)\left(6-y\right)+15=\left(1-x,2-y,3\right)\cdot\left(7-x,6-y,5\right)=\overset{\rightharpoonup}{PA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PB}=0$整理可得$x^2-8x+7+y^2-8y+12+15=0$亦即為$\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2+2=0$，從而沒有實數$x,y$能滿足該方程，故該集合為空集合，應選(1)。

設$\DeltaABC$為平面上的一個三角形，$P$為平面上一點且$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{1}{3}\overset{\rightharpoonup}{AB}+t\overset{\rightharpoonup}{AC}$，其中$t$為一實數。

試問下列哪一選項為$t$的最大範圍，使得$P$落在$\DeltaABC$的內部？$\displaystyle01$，因此$P$落於$\DeltaABC$內部。

而當$\displaystylet=\frac{2}{3}$時$P$落於$\overline{BC}$上，而不在$\DeltaABC$內部，應選(4)。

台灣證劵交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價(即最後一筆的成交價)的漲、跌$7\%$範圍內變動。

例如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股$100$元，則今天該支股票每股的買賣價格必須在$93$元至$107$元之間。

假設有某支股票的價格起伏很大，某一天的收盤價是每股$40$元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤(也就是每天跌$7\%$)，緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤(也就是每天漲$7\%$)。

請問經過這十個交易日後，該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格？$39$元$39.5$元$40$元$40.5$元$41$元訣竅按照題意運用指數律列式，並運用對數表來估算其值。

解法按題意列式並計算如下$40\left(1.07\right)^5\left(0.93\right)^5$設$S=\left(1.07\right)^5\left(0.93\right)^5$，那麼取以$10$為底的對數可得$\begin{aligned}\logS=&5\left(\log1.07+\log9.3-1\right)\approx5\left(0.0294+0.9685-1\right)\\=&-0.0105=-1+0.9895\approx-\log10+\log9.762=\log0.9762\end{aligned}$因此所求近似為$40\cdot0.9762=39.048$元，故選(1)。

多重選擇題說明：第$7$至第$11$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，劃記在答案卡之「解答欄」。

每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。

只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。

中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道，路旁立有標誌「外側車道大客車專用」。

請選出不違反此規定的選項：小型車行駛內側車道小型車行駛外側車道大客車行駛內側車道大客車行駛外側車道大貨車行駛外側車道訣竅根據基礎邏輯的語句進行判斷。

解法按照中文語言的概念，我們僅限制外側車道的使用情形，至於內側車道則不予限制，依此可以判斷各個選項如下此選項涉及內側車道，題幹並無規範之，因此不違反此項規定。

此選項涉及外側車道，但小型車不是大客車，故違反此選項。

此選項涉及內側車道，題幹並無規範之，因此不違反此項規定。

此選項涉及外側車道，而此為大客車行駛，因此不違反此項規定。

此選項涉及外側車道，但大貨車不是大客車，故違反此選項。

由以上分析可知應選(1)(3)(4)。

在坐標平面上，下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面？$3x=2y^2$$3x^2+2y^2=1$$3x^2-2y^2=1$$\left|x+y\right|=1$$\left|x\right|+\left|y\right|=1$訣竅按題意應選出封閉曲線的圖形。

解法本題選項皆為常見之方程式，辨別出圖形如下此為拋物線，故不為封閉圖形。

此為橢圓，故為封閉圖形。

此為雙曲線，故不為封閉圖形。

此為兩平行直線，故不為封閉圖形。

此為正方形，故為封閉圖形。

由以上分析可知應選(2)(5)。

如右圖$O-ABCD$為一金字塔，底是邊長為$1$之正方形，頂點$O$與$A$、$B$、$C$、$D$之距離均為$2$。

試問下列哪些式子是正確的？$\overset{\rightharpoonup}{OA}+\overset{\rightharpoonup}{OB}+\overset{\rightharpoonup}{OC}+\overset{\rightharpoonup}{OD}=\overset{\rightharpoonup}{0}$$\overset{\rightharpoonup}{OA}+\overset{\rightharpoonup}{OB}-\overset{\rightharpoonup}{OC}-\overset{\rightharpoonup}{OD}=\overset{\rightharpoonup}{0}$$\overset{\rightharpoonup}{OA}-\overset{\rightharpoonup}{OB}+\overset{\rightharpoonup}{OC}-\overset{\rightharpoonup}{OD}=\overset{\rightharpoonup}{0}$$\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OB}=\overset{\rightharpoonup}{OC}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OD}$$\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OC}=2$訣竅運用坐標表示法表達各個選項。

解法設$O$為原點，由畢氏定理可知$O$到$ABCD$的距離為$\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{2}$。

如此有$\displaystyleA\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$、$\displaystyleB\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$、$\displaystyleC\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$、$\displaystyleD\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$。

直接計算可知$\overset{\rightharpoonup}{OA}+\overset{\rightharpoonup}{OB}+\overset{\rightharpoonup}{OC}+\overset{\rightharpoonup}{OD}=\left(0,0,-2\sqrt{14}\right)$本選項錯誤。

直接計算可知$\overset{\rightharpoonup}{OA}+\overset{\rightharpoonup}{OB}-\overset{\rightharpoonup}{OC}-\overset{\rightharpoonup}{OD}=\left(2,0,0\right)$本選項錯誤。

直接計算可知$\overset{\rightharpoonup}{OA}-\overset{\rightharpoonup}{OB}+\overset{\rightharpoonup}{OC}-\overset{\rightharpoonup}{OD}=\left(0,0,0\right)$本選項正確。

直接計算可知$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OB}=\frac{7}{2}=\overset{\rightharpoonup}{OC}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OD}$直接計算可知$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OC}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{14}{4}=3\neq2$本選項錯誤。

由以上可知應選(3)(4)。

從$1,2,\cdots,10$這十個數中隨意取兩個，以$p$表示其和為偶數之機率，$q$表示其和為奇數之機率。

試問下列哪些敘述是正確的？$p+q=1$$p=q$$\displaystyle\left|p-q\right|\leq\frac{1}{10}$$\displaystyle\left|p-q\right|\geq\frac{1}{20}$$\displaystylep\geq\frac{1}{2}$訣竅運用排列組合釐清數字之和的情形進而求得機率便可判斷各個選項。

解法$10$個數字選出兩個數字的方法數有$C_2^{10}=45$，選出兩數之和為偶數之方法數為$C_2^5+C_2^5=20$種，而兩數之和為奇數之方法數為$\displaystyle5\cdot5=25$，因此$\displaystylep=\frac{4}{9}$、$\displaystyleq=\frac{5}{9}$，直接檢驗可知應選(1)(4)設$f\left(x\right)$為三次實係數多項式，且知複數$1+i$為$f\left(x\right)=0$之一解。

試問下列哪些敘述是正確的？$f\left(1-i\right)=0$$f\left(2+i\right)\neq0$沒有實數$x$滿足$f\left(x\right)=x$沒有實數$x$滿足$f\left(x^3\right)=0$若$f\left(0\right)>0$且$f\left(2\right)<0$，則$f\left(4\right)<0$訣竅運用代數基本定理、實係數虛根成對定理以及勘根定理判別各個選項。

解法由實係數虛根成對定理可知：若$1+i$為$f\left(x\right)=0$的根，則$1-i$亦為$f\left(x\right)=0$的根，從而$f\left(1-i\right)=0$，本選項正確。

由於$1\pmi$皆為$f\left(x\right)=0$的根，故三根中有兩虛根從而第三根必為實根，否則第三個虛根將不成對。

如此可知$2+i$必不為$f\left(x\right)=0$的根，亦即$f\left(2+i\right)\neq0$，本選項正確。

設$g\left(x\right)=f\left(x\right)-x$，那麼$g$為三次實係數多項式方程式。

可以知道$g$至少有一實數根，記此實數根為$c$，那麼有$g\left(c\right)=f\left(c\right)-c=0$，從而有$f\left(c\right)=c$，本選項錯誤。

設$g\left(x\right)=f\left(x^3\right)$，那麼$g$為九次實係數多項式方程式。

可以知道$g$至少有一實數根，記此實數根為$c$，那麼有$g\left(c\right)=f\left(c^3\right)=0$，本選項錯誤。

若$f\left(0\right)>0$且$f\left(2\right)<0$，則由勘根定理可知存在介於$0$與$2$的實數根。

再者又知$1\pmi$為$f$的兩虛根，以及代數基本定理可知$f$有三個複數根。

因此$f$沒有其他實數或虛數根，如此知$f\left(4\right)<0$，否則當$f\left(4\right)\geq0$時則表明在$\left(2,4\right]$之間另有實根，此與代數基本定理矛盾。

本選項正確。

由以上分析可知應選(1)(2)(5)。

第二部分：填充題說明：第$A$至$I$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12-31)處。

每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

某數學老師計算學期成績的公式如下：五次平時考中取較好的三次之平均值佔$30\%$，兩次期中考各佔$20\%$，期末考佔$30\%$。

某生平時考成績分別為$68$、$82$、$70$、$73$、$85$，期中考成績分別為$86$、$79$，期末考成績為$90$，則該生學期成績為$\underline{⑫⑬}$。

（計算到整數為止，小數點以後四捨五入）訣竅按照題設的規則計算即可。

解法學期成績計算如下$\displaystyle\frac{85+82+73}{3}\cdot0.3+86\cdot0.2+79\cdot0.2+90\cdot0.3=24+17.2+15.8+27=84$因此填入$⑫=8$、$⑬=4$。

某電視台舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有$1000$、$800$、$600$、$0$元獎額的球。

參加者自行從抽獎箱裡摸取一球(取後即放回)，主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到$0$元的人可以再摸一次，但是所得獎金折半(若再摸到$0$就沒有第三次機會)；則一個參加者可得獎金的期望值是$\underline{⑭⑮⑯}$元。

（計算到整數為止，小數點以後四捨五入）訣竅根據期望值之定義計算。

解法在第一輪抽中$1000$、$800$、$600$、$0$的機率皆為為$\displaystyle\frac{1}{4}$，但抽到$0$的話會有第二輪，抽球的機率仍舊相同但獎金折半，故獲得$500$元、$400$元與$300$元的機率皆為$\displaystyle\frac{1}{16}$，故期望值可表示並計算如下$\displaystyle\frac{1000+800+600}{4}+\frac{500+400+300}{16}=600+75=675$故填$⑭=6$、$⑮=7$、$⑯=5$。

設$a,b,c$為正整數，若$a\log_{520}2+b\log_{520}5+c\log_{520}13=3$，則$a+b+c=\underline{⑰⑱}$。

訣竅運用對數律的特性以及正整數的質因數分解具有唯一性來解題。

解法運用對數律可得$\log_{520}\left(2^a\cdot5^b\cdot13^c\right)=3$亦即有$2^a\cdot5^b\cdot13^c=520^3=\left(52\cdot10\right)^3=\left(2^3\cdot5\cdot13\right)^3=2^9\cdot5^3\cdot13^3$此表明$a=9$、$b=c=3$，因此$a+b+c=9+3+3=15$，填入$⑰=1$、$⑱=5$。

設$\DeltaABC$為一等腰直角三角形，$\angleBAC=90^\circ$。

若$P$、$Q$為斜邊$\overline{BC}$的三等分點，則$\displaystyle\tan\anglePAQ=\underline{　\frac{⑲}{⑳}　}$。

(化成最簡分數)訣竅利用平面坐標標示各個點坐標，運用內積求出該角之餘弦值，據此計算出正切值。

解法設$A$為原點，且$\DeltaABC$之腰長為$9k$，其中$k$為正實數，並設$B$與$C$分別為$\left(9k,0\right)$以及$\left(0,9k\right)$，如此$P$為$\left(6k,3k\right)$、$Q$為$\left(3k,6k\right)$。

運用內積可得$\displaystyle\cos\anglePAQ=\frac{\overset{\rightharpoonup}{AP}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AQ}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{AP}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{AQ}\right|}=\frac{\left(6k,3k\right)\cdot\left(3k,6k\right)}{\left|\left(6k,3k\right)\right|\left|\left(3k,6k\right)\right|}=\frac{18k^2+18k^2}{45k^2}=\frac{4}{5}$又由於$\anglePAQ$為銳角，故可求得$\displaystyle\sin\anglePAQ=\frac{3}{5}$，進而有$\displaystyle\tan\anglePAQ=\frac{3}{4}$，故填入$⑲=3$、$⑳=4$。

某高中招收高一新生共有男生$1008$人、女生$924$人報到。

學校想將他們依男女合班的原則平均分班，且要求各班有同樣多的男生，也有同樣多的女生；考量教學效益，並限制各班總人數在$40$與$50$人之間，則共分成$\underline{㉑㉒}$班。

訣竅運用公因數之概念求解。

解法設有$d$班且每班男生有$h$人而女生有$k$人，則可列式為$\begin{aligned}&dh=1008,\\&dk=924\end{aligned}$因此$d$為$1008$與$924$的公因數。

又可以知道$1008$與$924$的最大公因數為$84$，從而$d$為$84$的因數。

再者兩式相加有$d\left(h+k\right)=1932$，且$d+h$介於$40$與$50$之間，從而有$\displaystyle38.64=\frac{1932}{50}