微积分学/极限/极限的定义- 维基教科书，自由的教学读本

1 数列的极限 · 2 函数的极限. 2.1 趋近某一点的极限; 2.2 单边极限; 2.3 在无穷远处的极限; 2.4 趋向无穷的极限 · 3 评论 ... 微积分学/极限/极限的定义 维基教科书，自由的教学读本 m {\displaystyle2^{m}>m} ，也就是说 2 m ⩾ m + 1 {\displaystyle2^{m}\geqslantm+1} 。

对任意的正实数 ε > 0 {\displaystyle\varepsilon>0} ，它的倒数 1 ε {\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon}}} 也是一个正实数。

记 N 0 = ⌊ 1 ε ⌋ {\displaystyleN_{0}=\lfloor{\frac{1}{\varepsilon}}\rfloor} 为它的整数部分。

则对于任意的自然数 n {\displaystylen} ，只要 n ⩾ N 0 {\displaystylen\geqslantN_{0}} ，那么 a n = 1 2 n ⩽ 1 2 N 0 ⩽ 1 N 0 + 1 . {\displaystylea_{n}={\frac{1}{2^{n}}}\leqslant{\frac{1}{2^{N_{0}}}}\leqslant{\frac{1}{N_{0}+1}}.} 而 N 0 + 1 = ⌊ 1 ε ⌋ + 1 > 1 ε {\displaystyleN_{0}+1=\lfloor{\frac{1}{\varepsilon}}\rfloor+1>{\frac{1}{\varepsilon}}} 所以 1 N 0 + 1 < ε . {\displaystyle{\frac{1}{N_{0}+1}} c } {\displaystyle{\mathit{O}}_{+}={\mathit{O}}\cap\{x>c\}} ）上有定义。

如果对任意的正实数 ε {\displaystyle\varepsilon} ，都存在一个正实数 δ {\displaystyle\delta} ，使得对任意的实数 x < c {\displaystylex c {\displaystylex>c} ），只要 | x − c | ⩽ δ {\displaystyle\vertx-c\vert\leqslant\delta} ，就有 | f ( x ) − L | ⩽ ε . {\displaystyle\vertf(x)-L\vert\leqslant\varepsilon.} 那么就称 L {\displaystyleL} 是函数 f {\displaystylef} 在 x {\displaystylex} 趋于 c {\displaystylec} 时的左（右）极限，記為 lim x → c − f ( x ) = L {\displaystyle\lim_{x\toc^{-}}f(x)=L} （ lim x → c + f ( x ) = L {\displaystyle\lim_{x\toc^{+}}f(x)=L} ）。

反之则称 L {\displaystyleL} 不是 f {\displaystylef} 在 x {\displaystylex} 趋于 c {\displaystylec} 时的左（右）极限。

在这个定义下，我们可以说 f ( x ) = x − 2 {\displaystylef(x)={\sqrt{x-2}}} 在 x {\displaystylex} 趋于 2 {\displaystyle2} 时的右极限是 0 {\displaystyle0} 。

函数在趋于 c {\displaystylec} 时的极限存在，等价于说左、右极限都存在并相等。

不过有时即使函数在趋于某点时的左右极限存在，也可以不相等。

这时候函数在这一点没有极限。

在无穷远处的极限[编辑] 函数在某一点的极限可以描述自变量趋于这一点的时候函数值的变化趋势，对于定义域包括实数轴的某一侧（或两侧）的函数，可以探讨它在自变量充分大（或充分小）时候的变化趋势。

我们可以像前面一样定义函数在无穷远处的极限： 定义： 设 f : D ⊂ R → R {\displaystylef:\mathbb{D}\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} 是一个定义在实数上的函数，并在某个开区间 { x > A } {\displaystyle\{x>A\}} （或 { x < A } {\displaystyle\{x M {\displaystylea_{n}>M} （ a n < − M {\displaystylea_{n} c } {\displaystyle{\mathit{O}}_{+}={\mathit{O}}\cap\{x>c\}} ）上有定义。

如果对任意的正实数 M {\displaystyleM} ，都存在一个正实数 δ {\displaystyle\delta} ，使得对任意的实数 x < c {\displaystylex c {\displaystylex>c} ），只要 | x − c | ⩽ δ {\displaystyle\vertx-c\vert\leqslant\delta} ，就有 f ( x ) ⩾ M {\displaystylef(x)\geqslantM} （ f ( x ) ⩽ − M {\displaystylef(x)\leqslant-M} ）那么就称函数 f {\displaystylef} 在 x {\displaystylex} 从左（右）侧趋于 c {\displaystylec} 时趋于正无穷大（负无穷大），記為 lim x → c − f ( x ) = + ∞ {\displaystyle\lim_{x\toc^{-}}f(x)=+\infty} 或 lim x → c − f ( x ) = − ∞ {\displaystyle\lim_{x\toc^{-}}f(x)=-\infty} （ lim x → c + f ( x ) = + ∞ {\displaystyle\lim_{x\toc^{+}}f(x)=+\infty} 或 lim x → c + f ( x ) = − ∞ {\displaystyle\lim_{x\toc^{+}}f(x)=-\infty} ）。

定义： 设 f : D ⊂ R → R {\displaystylef:\mathbb{D}\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} 是一个定义在实数上的函数，并在某个开区间 { x > A } {\displaystyle\{x>A\}} （或 { x < A } {\displaystyle\{x 0 , ∃ N ∈ N , ( n ⩾ N   ⟹ | a n − L | < ε ) . {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=L\iff\forall\varepsilon>0,\existsN\in\mathbb{N},\left(n\geqslantN\\Longrightarrow\verta_{n}-L\vert 0 , ∃ N ∈ N , ( n ⩾ N   ⟹ | a n − L | < ε ) . {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=L\iff\forall\varepsilon>0,\existsN\in\mathbb{N},\left(n\geqslantN\\Longrightarrow\verta_{n}-L\vert 0 , ∃ N ∈ N , ( n ⩾ N   ⟹ | a n − L | ⩽ ε ) . {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=L\iff\forall\varepsilon>0,\existsN\in\mathbb{N},\left(n\geqslantN\\Longrightarrow\verta_{n}-L\vert\leqslant\varepsilon\right).} lim n → ∞ a n = L ⟺ ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , ( n > N   ⟹ | a n − L | < ε ) . {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=L\iff\forall\varepsilon>0,\existsN\in\mathbb{N},\left(n>N\\Longrightarrow\verta_{n}-L\vert 0 , ∃ N ∈ N , ( n > N   ⟹ | a n − L | ⩽ ε ) . {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=L\iff\forall\varepsilon>0,\existsN\in\mathbb{N},\left(n>N\\Longrightarrow\verta_{n}-L\vert\leqslant\varepsilon\right).} 但最前面 ε {\displaystyle\varepsilon} （和 δ {\displaystyle\delta} ）必须严格大于0，不能改成大于等于0。

数列可以看做是定义在自然数集合 N {\displaystyle\mathbb{N}} 上的函数，所以数列的极限可以看做是一个定义在 N {\displaystyle\mathbb{N}} 上的函数在无穷大处的极限。

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