命題與證明— 極限與連續. 最近因為工作的關係 - 吳建興

於calculus 課本中，對於極限的精確定義： 我們讓f 是一個定義於某個開區間的函數 ... 使得f(x) 與g(x) 於點a 的極限值相等，這證明了此處極限存在。

GetunlimitedaccessOpeninappHomeNotificationsListsStoriesWrite命題與證明—極限與連續最近因為工作的關係，可能會使用到微積分，所以打算從頭開始學起這個大部分的人已經非常熟悉，但我本身卻沒怎麼學過的科目。

這裡主要是想搜集平時會用到的數學工具，也就是課本上遇到的命題，以及相對應的證明。

把課本上，或查資料時查到的東西慢慢整理在這裡。

希望盡量能靠我破爛的英文能力翻譯成中文，但假如真的翻不太起來，我就會自暴自棄的直接用英文。

希望有人發現錯誤的話，可以在留言提醒一下⁽⁽٩(๑˃̶͈̀ᗨ˂̶͈́)۶⁾⁾定義、定理、性質：(1)定義：假設f(x)在x附近有被定義。

『意思是f在某個包含a的開區間有定義，而a本身不一定有定義』。

如果我們可以藉由讓x任意地逼近a但並不等於a，使得f(x)的值任意地逼近L。

“thelimitoff(x),asxapproachesa,equalsL”(2)定義：f(x)於a點的左極限等於L，表示如果我們可以讓x足夠逼近a且小於a，使得f(x)任意地逼近L。

theleft-handlimitoff(x)asxapproachesaisequaltoLifwecanmakethevaluesoff(x)arbitrarilyclosetoLbytakingxtobesufficientlyclosetoaandxlessthana.(3)定義：f(x)於a點的極限存在且等於L，若且唯若，在f(x)於a點的左極限等於L，且f(x)於a點的右極限等於L。

(4)定義：讓f(x)在a的兩側皆有定義，而a本身則不需要有定義（可有可無）。

則：表示f(x)當x足夠接近a但是不等於a時，f(x)的值會是無限大。

(5)定義：讓f(x)在a的兩側皆有定義，而a本身則不需要有定義（可有可無）。

則：表示f(x)當x足夠接近a但是不等於a時，f(x)的值會是無限小。

(6)定義：當有以下任一情況發生時，我們稱x=a為y=f(x)的垂直漸近線。

(7)LimitLaws：我們假設c是常數，且以下的極限都存在。

則我們可以得到：(8)DirectSubstitutionProperty：假如f是一個多項式(polynomial)，或是一個有理函數(rationalfunction)，且a存在於f的定義域，則：這樣的性質，也被稱為f於a連續(continuous)。

(9)性質：假如f(x)與g(x)在x=a以外的值都相等，而在x=a則可相等可不相等。

使得f(x)與g(x)於點a的極限值相等，這證明了此處極限存在。

(10)定理：當f於a的極限值存在且等於L時，若且唯若（為充要條件），f於a的左極限以及右極限皆存在且等於L。

(11)定理：當函數f於x=a附近皆小於等於函數g，且f與g於a的極限值皆存在。

則f於a的極限值小於等於g於a的極限值。

(12)夾擠定理(TheSqueezeTheorem)：找一個函數當作上界，另一個函數當作下界，藉此夾擠出中間函數在某一個點的極限值。

(13)定義：於calculus課本中，對於極限的精確定義：我們讓f是一個定義於某個開區間的函數，且這個區間包含a附近的值，而a本身則可包含可不包含。

則我們可以稱f(x)於x接近a時的極限值為L。

(14)DefinitionofLeft-HandLimit：於calculus課本中，對於左極限的精確定義：(15)DefinitionofRight-HandLimit：於calculus課本中，對於右極限的精確定義：(16)DefinitionofInfiniteLimits：於calculus課本中，對於趨向無窮的極限的精確定義：(17)Definition：於calculus課本中，對於趨向負無窮的極限的精確定義：(18)Definition：假如符合：則函數f於a點連續。

(19)Definition：假如：則我們稱函數f為右連續。

(Afunctionfiscontinuousfromtherightatanumbera)假如：則我們稱函數f為左連續。

(Afunctionfiscontinuousfromtheleftatanumbera)(20)Definition：一個函數f在一個區間上連續，表示f在此區間任何一點上皆為連續。

Afunctionfiscontinuousonanintervalifitiscontinuousateverynumberintheinterval.(Iffisdefinedonlyononesideofanendpointoftheinterval,weunderstandcontinuousattheendpointtomeancontinuousfromtherightorcontinuousfromtheleft)(21)Theorem：假若函數f與g於a點皆為連續，且c為某常數，則以下函數皆於a點連續：(22)Theorem：任意多項式(polynomial)在任意點都為連續，表示其於皆為連續。

任意有理函數(rationalfunction)只要其值有定義（分母不為零），則有理函數於其定義域為連續。

(23)Theorem：以下函數於其定義域皆為連續：polynomials（多項式）rationalfunctions（有理函數）rootfunctions（根函數）trigonometricfunctions（三角函數）(24)Theorem：(25)Theorem：-(26)TheIntermediateValueTheorem（中間值定理）：命題與證明：(1)命題：(1)證明：(2)命題：(2)證明：Reference[1]Calculuschapter1,section1.5~1.8[2]CalculusappendixF[3]台灣大學-開放式課程-微積分-朱樺教授TODO將“定義補完”收集與極限與連續相關的命題與相對應的證明Morefrom吳建興FollowIwanttobeagoodprogrammer.(´・ω・`)Lovepodcastsoraudiobooks?Learnonthegowithournewapp.TryKnowableAboutHelpTermsPrivacyGettheMediumappGetstarted吳建興31FollowersIwanttobeagoodprogrammer.(´・ω・`)FollowHelpStatusWritersBlogCareersPrivacyTermsAboutKnowable