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在幾何之中,聯絡是一點所對應的空間與另一點所對應的空間之間的轉換。
這種轉換是沿著一曲線(族)的連續地變化,遵循平行性及邏輯上的一致性。
在現代幾何中,依照不同 ...
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在幾何之中,聯絡是一點所對應的空間與另一點所對應的空間之間的轉換。
這種轉換是沿著一曲線(族)的連續地變化,遵循平行性及邏輯上的一致性。
在現代幾何中,依照不同的空間,可定義出好幾種不同的聯絡。
例如最常見的仿射聯絡,即是在流形上由一點上切空間,到另一點上切空間,沿著一條曲線的轉換。
仿射聯絡可以用來定義協變導數,推廣了向量空間中方向導數的概念。
聯絡是現代幾何中一個應用範圍廣泛的核心概念,因為藉由聯絡,在一個幾何實體中,不同兩點上的局部幾何空間(可理解為鄰域),這兩者間的元素得以互相比較。
聯絡使得幾何不變量可以表述為能夠顯現出其本質的形式,像是曲率(詳見曲率張量及曲率形式)及撓率等,都是由聯絡所導出的。
動機:坐標系統的侷限編輯
藍色向量跟紅色向量一開始(在圖上的黑色向量)是指向一樣的方向,但分別沿著圖上不同的曲線作平行移動到同一點後,卻會指向不一樣的方向。
這是因為曲率不為零的關係。
請回憶原始平行移動的概念:當一個轉換不會讓向量的分量有所改變時,便稱此轉換為平行移動。
設在球面上的北極點有一個切向量,我們將試著藉由適當的定義,把那切向量能從球體上一點平行移動到其他點。
注意到切向量其實是點上局部座標系的元素,所以在球面上的平行移動能理解為切向量在兩個切空間之間的轉換。
然而,原始平行移動的概念並不能把存在於某個切空間的切向量,轉換到不同的切空間中。
為了讓平行移動的概念更加清楚,我們考慮一種等價的移動方法:使切向量黏在北極點且整體座標系固定的情況下,旋轉球體使得北極點沿著曲線移動(後續將會知道,這是列維-奇維塔聯絡的移動方式)。
如圖所示,雖然切向量移動的起點和終點是一樣的,但沿著不同的曲線移動的話,它最終指向的方向也會不一樣,這現象反映了球體的曲率。
(有趣的是,古中國發明的指南車,它的行為就跟在平行移動下的切向量沒兩樣。
)
現在我們把原始平行移動的概念推廣,使之能用於在不同切空間的轉換,稱為聯絡:若有個'轉換'將一個切向量A從切空間S,轉換成切空間T中的向量B,並使得A於S座標系的每個分量,都分別跟B於T座標系的對應分量相等,則此轉換即是聯絡。
藉聯絡定義導數的方案編輯
當我們使用向量微積分中的方向導數時會發現,方向導數在不同空間的轉換下,沒辦法反映轉換前後不變的性質。
另外,方向導數是歐幾里德空間中向量場沿著一方向的變化,但不是每種空間都能像歐幾里德空間這樣做。
因為在任意座標系中,兩個存在於不同切空間的切向量,並不能相加或相減,這使的方向導數的定義不能在上述的球面上使用。
為此,我們提出一個可行的方案以取代方向導數。
在空間轉換下,張量的表述方法可以反映在空間變換下不變的性質,其中共變導數正好可以用來取代方向導數。
共變導數藉由一個聯絡(他的分量形式是克里斯托福符號Γ),讓不同但無窮接近的兩個切空間中的切向量,可以轉換到同一個切空間中,如此一來兩向量就可以相加相減,使得此種導數概念可以被定義出來。
一個更廣義的方法是使用李群藉以反映空間上的對稱性。
李群使用的聯絡是嘉當聯絡。
各領域中聯絡的定義編輯
以下將提及的是「線性」或「仿射」聯絡。
在模上定義協變導數較為直接的方式;見導子。
張量分析中以經典的分量形式給出聯絡;見協變導數(注意:雖說協變導數是張量分析的內容,它本身也是有三個指標的量,但協變導數不是一個張量)。
在黎曼幾何中,聯絡是由度量張量所導出;見列維-奇維塔聯絡。
用主叢和李代數值構成的微分形式;見聯絡形式和嘉當聯絡。
最抽象的定義大概是亞歷山大·格羅滕迪克所建議的方法。
在這方法中,聯絡被視為對角線中無窮小鄰域的下降數據。
除了「仿射」聯絡之外還有其他的聯絡,例如射影聯絡的概念,這概念的其中一個特例是複分析裡的施瓦茨導數。
取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=联络&oldid=68947013」
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