102年大學學測數學科詳解 - 朱式幸福

102年大學學測數學科詳解. 102 學年度學科能力測驗試題數學考科詳解. 解： 若要符合參選模範生資格，小文需英文70分(含)以上且數學及格。

網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2018年3月20日星期二 102年大學學測數學科詳解 102學年度學科能力測驗試題數學考科詳解 解： 若要符合參選模範生資格，小文需英文70分(含)以上且數學及格。

因此若不符參選資格，上述任一條件不滿足即不符條件，故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 解：$$\begin{cases}a=2.6^{10}-2.6^{9}=2.6^{9}\left(2.6-1\right)=1.6\times2.6^{9}\\b=2.6^{11}-2.6^{10}=2.6^{9}\left(2.6^{2}-2.6\right)=4.16\times2.6^{9}\\c=\frac{2.6^{11}-2.6^{9}}{2}=\frac{2.6^{9}}{2}\left(2.6^{2}-1\right)=2.88\times2.6^{9}\end{cases}\Rightarrowb>c>a$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\) 解： 甲和乙抽到同色球的情形為 黑黑:機率為\(\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{10}\) 白白:機率為\(\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\) 因此甲和乙抽到同色球的機率為\(\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2}{5}\) 甲和乙抽到同色球且丙抽到白球的情形為 黑黑白:機率為\(\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{3}=\frac{1}{10}\) 白白白:機率為\(\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{10}\) 甲和乙抽到同色球且丙抽到白球的機率為\(\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}\) 所求之條件機率為\(\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 解： 各選項皆是x:2→3→5，逐漸變大。

由於是負相關且接近-1，因此需找y逐漸變小，故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 解： 假設紅籃子內有R顆雞蛋、黃籃子內有Y顆雞蛋、綠籃子內有G顆雞蛋，即R+Y+G=24 黃綠籃子內要有奇數顆蛋，可設Y=2a+1、G=2b+1，其中a與b皆為非負整數。

因此\(R+(2a+1)+(2b+1)=24\RightarrowR+2a+2b=22\)，因此R為偶數設為R=2c，c為非負整數。

2c+2a+2b=22\(\Rightarrow  a+b+c=11\)。

由於各籃至少1顆蛋了，所以先丟一顆蛋給c，則此題變成求a+b+c=10的非負整數解，共有\(H^3_{10}=C^{12}_{10}=\frac{12\times  11}{2}=66\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\) 解： 假設10:00的高度為h，熱氣球十分鐘上升的高度為k，10:30的仰角為\(\theta\)，如上圖。

$$\tan{34°}=\frac{h+k}{\sqrt{3}h}\Rightarrowk=\sqrt{3}h\times\tan{34°}-h=h\left(\sqrt{3}\tan{34°}-1\right)\\\Rightarrow\tan{\theta}=\frac{h+3k}{\sqrt{3}h}=\frac{h+3h\left(\sqrt{3}\tan{34°}-1\right)}{\sqrt{3}h}=\frac{1+3\left(\sqrt{3}\tan{34°}-1\right)}{\sqrt{3}}\\=\frac{3\sqrt{3}\tan{34°}-2}{\sqrt{3}}=3\tan{34°}-2\tan{30°}=3\times0.675-2\times0.577=0.871\\\Rightarrow\theta\approx41°$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 二、多選題 解： $${\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}^{2}=\begin{bmatrix}1&1+2\\0&2^{2}\end{bmatrix},{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}^{3}=\begin{bmatrix}1&1+2+2^{2}\\0&2^{3}\end{bmatrix}\Rightarrow{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}^{n}=\begin{bmatrix}1&1+2+\cdots+2^{n-1}\\0&2^{n}\end{bmatrix}\\\Rightarrowa_{n}=1,b_{n}=1+2+\cdots+2^{n-1},c_n=0,d_n=2^n$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,3,5)}\) 解： 假設\(a=10,b=\frac{1}{10}\) (1)正確：\((-10)^7>(-10)^9\) (2)正確：\(10^9>10^7\) (3)錯誤：\(\log_{10}{\frac{1}{10}}=-1<1=\log_{10}{10}\) (4)錯誤：\(\log_a{1}=\log_b{1}=0\) (5)錯誤：$$\log_{a}{b}-\log_{b}{a}=\frac{\log{b} }{\log{a} }-\frac{\log{a} }{\log{b} }=\frac{{\left(\log{b} \right) }^{2}-{\left(\log{a} \right) }^{2}}{\log{a}\times\log{b} }=\frac{\left(\log{b}+\log{a} \right)\left(\log{b}-\log{a} \right) }{\log{a}\times\log{b} }\\=\frac{\left(\log{ab} \right)\left(\log{\frac{b}{a} } \right) }{\log{a}\times\log{b} }\le0\Rightarrow\log_{a}{b}\le\log_{b}{a}$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2)}\) 解：$$\begin{cases}f\left(x\right)=m\left(x-a\right)\left(x-b\right),m>0\\g\left(x\right)=n\left(x-b\right)\left(x-c\right),n>0\end{cases}\Rightarrowy=f\left(x\right)+g\left(x\right)=\left(x-b\right)\left[m\left(x-a\right)+n\left(x-c\right)\right]\\=\left(x-b\right)\left[\left(m+n\right)x-ma-nc\right]\Rightarrowy=\left(m+n\right)\left(x-\frac{ma+nc}{m+n}\right)\left(x-b\right)$$ (1)錯誤：\(m+n\ne0\Rightarrow \)非水平直線 (2)錯誤：非直線 (3)錯誤：有交點 (4)正確：若\(b=\frac{ma+nc}{m+n}\)，則交於一點 (5)正確：若\(b\ne\frac{ma+nc}{m+n}\)，則交於二點 故選\(\bbox[red,2pt]{(4,5)}\) 解： $$P=\left(x,y\right)\Rightarrow\vec{PQ_{1}}\cdot\vec{PQ_{2}}=\left(1-x,-y\right)\cdot\left(-1-x,-y\right)=x^{2}+y^{2}-1\\\vec{PQ_{1}}\cdot\vec{PQ_{2}}<0\Rightarrowx^{2}+y^{2}-1<0\Rightarrowx^{2}+y^{2}<1$$ 也就是說，P需在原點為圓心，半徑為1的圓內(不含圓周)才能滿足\(\vec{PQ_{1}}\cdot\vec{PQ_{2}}<0\) (1)正確：該水平線高度只有\(\frac{1}{2}\)與單位圓有交點 (2)錯誤：\(y=x^2+1>1\Rightarrow\)拋物線的Y坐標比圓還高，沒有交點 (3)正確：為上下雙曲線，由於\(\frac{1}{\sqrt{2}}<1\)，因此有焦點 (4)正確：為單位圓內的橢圓，有焦點 (5)錯誤：為左右雙曲線，由於\(\sqrt{2}>1\)，因此沒有焦點 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}\) 解： S為正方形，其頂點至\(F_1\)的距離皆相等；在\(\Gamma\)上的點至同一焦點的距離相等最多只有兩個，故選：\(\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}\) 解： (1)正確：\(a_9\timesa_{10}=a_1\times(-0.8)^8\timesa_1\times(-0.8)^9=a_1^2\times(-0.8)^{17}<0\) (3)正確：由於\(a_9\timesa_{10}<0\)，所以\(\)的公差為負值，因此\(b_9>b_{10}\) (2,4,5)錯誤：不能確定 答：\(\bbox[red,2pt]{(1,3)}\) 第貳部份：選填題 解： $$\frac{k}{3}