应力-应变曲线- 维基百科，自由的百科全书

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非鐵合金的典型應力-應變曲線。

應力（ σ {\displaystyle\sigma} ）為應變（ ϵ {\displaystyle\epsilon} ）的函數1:彈力限（比例限，虎克定律此後不成立）2:偏位降伏強度（0.2%的應變再依彈性模量延伸） 某一種特定材料的應力與應變關係稱為該材料的應力-應變曲線（stress-straincurve）。

每一種材料都有唯一的應力-應變曲線，該曲線可以通過記錄材料在不同的拉伸和壓縮加載（應力）下的形變（應變）來獲得。

這條曲線也提供了很多該材料的特性，例如其彈性模量、降伏強度（彈力限）、極限拉伸強度，也可以看出材料是脆性材料還是延展性材料[1]。

一般而言，有關任何變形下，應力和應變的關係都可以視為是應力-應變曲線。

應力和應變可以是正應力及正應變，剪應力及剪應變，也可以是混合的。

可以是單一軸向、雙軸或是多軸的，甚至可以是時變的。

變形可以是壓縮、拉伸、扭轉、轉動等。

若沒有特別標明，應力-應變曲線是指在拉伸測試下正向應力及正向應變之間的關係。

考慮一截面積為A的棒狀物體，其兩端施加大小相等，方向相反的拉伸力。

材料會受到應力（定義為受力和其截面積之間比值），也會有軸向的伸長： σ = F A 0 {\displaystyle\mathrm{\sigma}={\tfrac{F}{A_{0}}}} ϵ = L − L 0 L 0 = Δ L L 0 {\displaystyle\mathrm{\epsilon}={\tfrac{L-L_{0}}{L_{0}}}={\tfrac{\DeltaL}{L_{0}}}} 其中下標0是材料的原始尺寸，應力的SI單位是牛頓每平方米（N/m2），或是Pa（1Pa=1N/m2），應變為無因次量。

在拉伸試驗下，記錄不同應變下，材料應力的變化，一直到材料斷裂為止，描繪其曲線，即為應力-應變曲線。

一般而言，應力-應變曲線會用應變為x軸，應力為y軸。

為了工程的需求，一般會假設材料在整個拉伸過程中，其截面積不會變化，不過在變形過程中，截面積也會略為變小。

在假設截面積不變的條件下所畫的應力-應變曲線稱為「工程應力-應變曲線」，考慮真正截面積變化的應力-應變曲線稱為「真應力-應變曲線」。

目次 1曲線的不同階段 2真實應力和應變之間的關係 3分類 3.1延展性材料 3.2脆性材料 4影響因子 5相關條目 6參考來源 7外部連結 曲線的不同階段[編輯] 低碳鋼的應力-應變曲線 右圖是室溫下低碳鋼的應力-應變曲線，曲線的不同階段有不同的特性，也有不同的機械性質。

而其他材料也可能會省略其中的一些階段，或是出現其他的階段。

第一階段是線性彈性階段。

此階段的應力和應變成正比，遵守胡克定律，其斜率即為楊氏模量。

材料在這個階段的變形都是彈性變形，此階段的結束是塑性變形的開始，該點的應力即為降伏強度（或是上降伏點，簡稱UYP）。

第二階段是應變硬化階段。

其應力超過降伏強度，小於極限強度（ultimatestrengthpoint）。

極限強度是應力-應變曲線的最高點。

這個區域一開始的應力不隨應變變化，有短暫的水平區，之後，其應力隨著材料伸長而變大。

平坦區的應力稱為下降伏點（LYP），是因為賴得帶（英語：Lüdersband）的形成及傳遞所造成。

明顯的，非均質塑性變形會在上降伏強度形成賴得帶，將變形擴散到下降伏強度的材料。

當材料再度均勻變形時，隨著材料的伸展，其應力會增加，這稱為加工硬化。

因為塑性變形引起的緻密位錯使位錯無法再進一步發展。

為了要克服這種阻礙，需要加較大的臨界分解剪應力（英語：resolvedshearstress）。

在應變累積時，材料也就在進行加工硬化，一直到應力到達極限強度為止。

第三階段是頸縮階段，應力超過極限強度後，試料中會出現頸縮（Necking）現象，也就是某一段的截面積明顯比平均截面積要小。

頸縮變形是非均質的，因為應力在截面積較小的區域更容易集中，因此頸縮會自我增強，讓應力更集中。

這種正回授會讓頸縮很快就生成，並且很快斷裂。

不過此時拉力雖在減少，但其加工硬化仍在進行中。

此時用真實截面積計算的真應力會繼續增加，但假設截面積不變的工程應力就會減少。

第三階段的最後是材料的斷裂。

在斷裂後可以計算材料的伸長量以及截面積的縮減量。

真實應力和應變之間的關係[編輯] 真實應力和應變的關係會考慮到截面積縮小對應力的影響，以及因應變參考長度使用當時長度（而不是原始長度）造成的應變降低，和工程應力及應變之間的關係有些不同。

真實應力-應變曲線以及工程應力-應變曲線之間的差差異 σ t = F A {\displaystyle\mathrm{\sigma_{t}}={\tfrac{F}{A}}} ϵ t = ∫ δ L L {\displaystyle\mathrm{\epsilon_{t}}=\int{\tfrac{\deltaL}{L}}} 此處的尺寸是即時值，假設物體體積守恆，變形是均勻的出現。

A 0 L 0 = A L {\displaystyleA_{0}L_{0}=AL} 真實應力和應變可以用工程應力及應變表示。

針對真實應力 σ t = F A = F A 0 ∗ A 0 A = F A 0 ∗ L L 0 = σ ( 1 + ϵ ) {\displaystyle\mathrm{\sigma_{t}}={\tfrac{F}{A}}={\tfrac{F}{A_{0}}}*{\tfrac{A_{0}}{A}}={\tfrac{F}{A_{0}}}*{\tfrac{L}{L_{0}}}=\sigma(1+\epsilon)} 針對應變 δ ϵ t = δ L L {\displaystyle\mathrm{\delta\epsilon_{t}}={\tfrac{\deltaL}{L}}} 兩邊積分，再考慮邊界條件 ϵ t = l n ( L L 0 ) = l n ( 1 + ϵ ) {\displaystyle\mathrm{\epsilon_{t}}=ln({\tfrac{L}{L_{0}}})=ln(1+\epsilon)} 因此在張力測試中，真實應力會大於工程應力，真實應變小於工程應變。

在真實應力-應變圖上有一個點，而其對應的等效工程應力及應變點會往左上方移。

真實應力及工程應力的差值會隨著塑性變形增加而變大。

在低應變時（例如線性形變），兩者的差值可以省略。

對於抗張強度的點，是工程應力-應變曲線的最大點，但不是真應力-應變曲線的最大點。

因為工程應力和施力成正比，頸縮形變的判斷基準可以用 δ F = 0 {\displaystyle\mathrm{\delta{\textit{F}}}=0} 來計算： δ F = 0 = σ t δ A + A δ σ t {\displaystyle\mathrm{\delta{\textit{F}}}=0=\sigma_{t}\deltaA+A\delta\sigma_{t}} − δ A A = δ σ t σ t {\displaystyle\mathrm{-{\tfrac{\deltaA}{A}}}=\mathrm{\tfrac{\delta\sigma_{t}}{\sigma_{t}}}} 上述分析考慮到抗張強度的本質，抗張強度點時，加工硬化（又稱應變硬化）的效果恰好和截面積減少的效果相抵消。

在頸縮形變後，材料承受的是非均質的形變，因此上述公式不再有效。

頸縮時的應力及應變可以表示為： σ t = F A n e c k {\displaystyle\mathrm{\sigma_{t}}={\tfrac{F}{A_{neck}}}} ϵ t = l n ( A 0 A n e c k ) {\displaystyle\mathrm{\epsilon_{t}}=ln({\tfrac{A_{0}}{A_{neck}}})} 以下的經驗式常用來描述真實應力和應變之間的關係。

σ t = K ( ϵ t ) n {\displaystyle\mathrm{\sigma_{t}}=K(\epsilon_{t})^{n}} 上述的n是應變硬化係數，K是強度係數。

n可以用來衡量材料加工硬化的特化，n越大的越不容易頸縮。

一般而言，金屬在室溫下的n從0.02至0.5之間[2] 分類[編輯] 在許多不同的材料中，可以依應力-應變曲線的特性將材料分為二類：分別是延展性（ductile）材料及脆性（brittle）材料[3]。

延展性材料[編輯] 結構鋼的應力-應變曲線1:極限拉伸強度2:降伏強度3:斷裂4:應變硬化（英語：Strainhardening]]]）區5:頸縮區A:工程應力(F/A0)B:實際應力(F/A) 具有延展性的材料，包括結構鋼，以及許多其他金屬的合金，可以依其在室溫下降伏的情形來區分其特性[4]。

低碳鋼的應力-應變關係，在降伏強度以下都非常的線性，這段線性區域即為彈性區，斜率為彈性模量或楊氏模量。

許多延展性的材料（包括一些金屬、塑料以及陶瓷）都有降伏點。

塑性流動從上降伏點開始，在下降伏點繼續塑性流動。

在下降伏點時，永久變形會在試料中不均勻的分佈。

在上降伏點形成的變形帶會在下降伏點時延著標距長度傳播。

在魯德（luders）應變時，變形帶會佔據整個標距長度。

超過這點後，就會出現加工硬化。

降伏點的出現對應材料中差排的釘扎點。

例如在差排處出現固溶體，就會有釘扎點的效果，使差排無法再移動。

因此，需要較大的力才能使差排再移動。

若差排離開釘扎點，需要的應力就會比較小。

應變超過降伏點後，因為差排離開科氏氣團（英語：Cottrellatmosphere），曲線會略為下降。

若繼續變形，會因為應變硬化（英語：Strainhardening]]]）而使應力增加，直到到達極限拉伸強度為止。

到達時，會因為泊松收縮的影響使截面積減少。

因此試料開始頸縮，最後會斷裂。

延展性材料的頸縮和系統的幾何不穩定性有關。

因為材料本身天然的不均勻，常會出現有些區域有夾雜小雜質或是出現小孔，可能是在表面或是內部，其應變會集中，讓這些區域面積比其他區域要小。

在應變小於極限拉伸應變時，區域加工硬化的的應力增加率比面積縮減率要大，因此這些區域比其他區域更不容易變形，此情形下就沒有幾何不穩定性，也就是說，在極限拉伸應變之前，材料可以讓不均勻的影響降低。

不過若應變繼續增加，加工硬化的效果會下降，截面較小的區域就會比其他區域要脆弱，面積減小會集中在這些區域，頸縮會越來越明顯，直到材料斷裂為止。

當材料出現頸縮的情形，塑性變形會集中在頸縮部位，材料其他部份仍維持彈性變形。

延展性材料的應力-應變曲線可以用Ramberg-Osgood方程來近似[5]，此方程應用上很直接，只需要材料極限拉伸強度、降伏強度、楊氏模量及伸長比例即可。

脆性材料[編輯] 脆性材料和延展性材料的應力-應變曲線 脆性材料（例如鑄鐵、玻璃及石頭等）在受到拉伸時，會在長度還沒有明顯變化時就先斷裂了[6]，有些則是在降服點之前才斷裂。

像混凝土或是碳纖維之類的脆性材料沒有明確定義的降服點，也沒有應變硬化的現象，因此其最大強度等於斷裂強度。

像玻璃也是脆性材料，沒有塑性變形，在彈性變形的過程中就斷裂了。

這類脆性材料在拉伸變形過程沒有頸縮現象，將斷裂的二部份重新組合，形狀會和原來完全一樣。

脆性材料的典型應力-應變曲線是線性的。

有些材料（如混凝土）的抗拉強度遠低於拉壓強度，因此在工程應用中，會假設其抗拉強度為零。

玻璃纖維的抗拉強度比鋼要大，而一整塊的玻璃無此特性，這是因為和材料中缺陷有關的應力強度因子所造成的。

當試樣尺寸越大，缺陷的大小也隨之加大。

一般而言，繩子的抗拉強度會小於個別纖維抗拉強度的總和。

影響因子[編輯] 不同材料的應力-應變曲線會有很大的變化，是不同內在結構及組成的結果。

因為外在因素的不同，相同種類的材料進行多次的拉伸實驗，也會有不同的結果，主要會依試件的溫度以及加載的速度而不同。

不過若在進一步的描，內在因素和外在因素的分界不是非常的明確。

許多因素會影響應力-應變曲線，例如改變楊氏模數、硬化程度，也有可能改變結構以及其組成。

在應力-應變曲線中，常會忽略時間的影響，不過若應變率較高，其應力也會較大，其關係如下 σ t = K ( ϵ ˙ T ) m {\displaystyle\mathrm{\sigma_{t}}=K({\dot{\epsilon}}_{T})^{m}} 其中的m是應變率敏感度。

m越大時，材料抵抗頸縮的能力也越大。

就像加工硬化係數的效果一樣 另一個主要影響因素是溫度。

溫度會影響差排及擴散的活化程度。

脆性材料可能會因為溫度上昇而變成延展性材料。

相關條目[編輯] 彈性體 材料力學 張力計（英語：Tensometer） 萬能試驗機（英語：Universaltestingmachine） 應力-應變指數（英語：Stress–strainindex） 應力-應變分析（英語：Stress–strainanalysis） 韌性(科學) 參考來源[編輯] ^Luebkeman,C.,&Peting,D.(2012,0428). ^Courtney,Thomas.Mechanicalbehaviorofmaterials.WavelandPress,Inc.2005:6–13.  ^Beer,F,Johnston,R,Dewolf,J,&Mazurek,D.(2009).Mechanicsofmaterials.NewYork:McGraw-Hillcompanies.P51. ^Beer,F,Johnston,R,Dewolf,J,&Mazurek,D.(2009).Mechanicsofmaterials.NewYork:McGraw-Hillcompanies.P58. ^MechanicalPropertiesofMaterials.（原始內容存檔於2019-05-04）.  ^Beer,F,Johnston,R,Dewolf,J,&Mazurek,D.(2009).Mechanicsofmaterials.NewYork:McGraw-Hillcompanies.P59. 外部連結[編輯] BritishSocietyforStrainMeasurement（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Stress–straindiagram Engineeringstress–straincurve（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=应力-应变曲线&oldid=66546875」 分類：固體力學塑性變形隱藏分類：自2015年9月缺少可靠來源的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةবাংলাCatalàکوردیDeutschEnglishEspañolEuskaraفارسیSuomiFrançaisעבריתहिन्दीHrvatskiBahasaIndonesia日本語Қазақша한국어മലയാളംBahasaMelayuNederlandsPolskiPortuguêsРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиසිංහලSvenskaதமிழ்TürkçeУкраїнська 編輯連結