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§2.3 圓管之流體流動(Flow through a Circular Tube) ... 流體在圓管的流動經常出現在物理、化學、生化和工程領域，管內的層流(laminar flow) 可透過動量 ... WelcomeMessage 「流行起於高分子，變化盡藏微宇宙」!歡迎光臨「流變學好簡單|TheRheoMaster」部落格，成立於2019.2.22，旨在提供簡單的中文流變學知識，包括高分子流變學、輸送現象、高分子加工、流變量測等。

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Welcometo"TheRheoMaster"Blog.ThiswebsitewasestablishedinFeb2019.InviewofthelackofChineseliteratureonrheology,hereweofferbasicknowledgerelevanttopolymerrheology,transportphenomena,polymerprocessing,rheometry,etc.Ifyouhaveanysuggestion,pleaseleaveamessageonthepostyouarereadingoremailusatyuhowen@gmail.com. 2019年7月6日 §2.3圓管之流體流動(FlowthroughaCircularTube) A.問題描述 流體在圓管的流動經常出現在物理、化學、生化和工程領域，管內的層流(laminarflow)可透過動量平衡與圓柱座標之結合分析之。

於Fig.2.3-1，流體受壓力差和重力雙重引響而往下流動。

這裡假設管長遠大於管徑(L>>R)，故端點效應(endeffects)的影響可忽略。

(i)流體:密度、黏度為定值的流體，即不可壓縮的牛頓流體。

(ii)邊界條件: B.C.1，在r=0，剪切應力為有限值； B.C.2，在r=R，速度 vz =0。

(iii)分析:我們假設流體速度 vz = vz (r)、vr = vθ =0，壓力 p=p(z)。

由下方 Table1可知，只有兩個應力分量相等 τrz = τzr，且不為零。

(1) 此題求解穩態下，層流的流速分佈等性質。

Figure2.3-1對垂直圓管進行z方向動量之平衡Table1 直角座標系下之牛頓黏度定律 B.結果討論 如Fig.2.3-1，我們進行z方向的動量平衡 (2) Equation 2 依序考慮對流、分子輸送和重力對殼層內流體之影響。

求解後得以下結果(1)至(3)。

(1)動量通量分佈 (3) 此線性結果繪於 Fig.2.3-2，動量通量的值在徑向(r)呈線性增加 ，或者是說，在r=R，管壁剪切力 (wallshearstress)有最大值。

Figure2.3-2圖管之動量通量與流速分佈曲線 (2)速度分佈在徑向(r 方向)為抛物曲線 (4) 速度分佈曲線如Fig.2.3-2所示。

速度梯度為(velocitygradient) dvz/dr=-(P0-PL)r/(2μL)   (4.1) |dvz/dr|的最大值發生在管壁處(r=R)，且速度梯度自管壁(r=R)線性遞減至管中心(r=0)，故管流產生的是非均勻流場(inhomogeneousflow)，反觀，流體於平行平板的速度梯度為定值，故產生的是均勻流場(homogeneousflow)。

(3a)最大的速度 vz,max 發生在管子中心軸(r=0) (5) (3b)平均速度等於總體積流率除以截面積 (6) 平均速度為最大速度的二分之一。

(3c)質量流率w等於平均流速(Eq.5)乘上截面積再乘上流體密度 ρ (7) 這是相當有名的結果，稱之為Hagen-Poiseuille方程式。

結此式結合毛細管黏度計(capillaryviscometer)的實驗數據，即質量流率w和修正壓力差值 𝒫0 - 𝒫L (modifiedpressuredifference)，可決定牛頓流體的黏度值。

體積流率Q則為w/ρ。

(3d)流體作用於管子濕表面(wettedsurface)的黏滯力 Fz (z方向分量)，等於剪切力 τrz 對整個濕面積(wettedarea)進行積分，即 (8) Equation8 告訴我們，黏滯力Fz 會被淨壓力(netpressureforce)和重力(gravitationalforce)所抵消。

此結果也可透過對管內流體進行簡單的力平衡求得。

很多實驗結果已證實，只要系統的雷諾數(Reynoldsnumbers)低於約2,100，上述流體流動問題的假設(vz = vz(r)和p=p(z))和計算結果都是相當可靠的。

然而，當Re>2,100，流體的流動很容易因為管壁粗糙度或震動影響，使層流(laminarflow)過渡成為紊流(turbulentflow)。

對圓管而言，雷諾數的定義為 (9) 其中D(=2R)是管子直徑。

Reference:RBBird,WEStewart,ENLightfoot, TransportPhenomena,2nded(Wiley2002). Postedby RicWen 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 文章分類: 1.輸送現象-TransportPhenomena 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 瀏覽次數|Pageviews(SINCE2019) 關鍵字搜尋|Search 文章分類|Labels 0.部落格新聞-News (19) 1.流變量測學-Rheometry (14) 1.流變學-Rheology (70) 1.高分子加工-PolymerProcessing (24) 1.高分子物理-PolymerPhysics (9) 1.專業書籍推薦-BookRecommendation (11) 1.輸送現象-TransportPhenomena (50) 2.3D立體模型製作-Rhinoceros (1) 2.程式語言-CplusCplus (5) 2.數值方法-NumericalMethod (6) 3.英文學習-EnglishLearning (5) 3.倉頡輸入法-InputMethod (1) 3.學術單字-AcademicVocabulary (1) 熱門文章|PopularPosts 何謂牛頓流體、牛頓黏度定律?(WhatAreNewtonianFluidandNewton'sLawofViscosity)? 何謂牛頓流體(Newtonianfluid)?簡單來說，牛頓流體是黏度 η 不隨流速而改變的流體，也就是在固定溫度、壓力的情況下，η 恆為定值。

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於Fig.2.3-1，流體受壓力差和重力雙重引響而往下流動。

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【學經歷】國立中正大學化工系、化工所(2011)、美國康乃爾大學博士後研究員(2012–2015)、德商Heraeus賀利氏材料RDScientist(2016–2019)。

【興趣】高分子與膠體流變學、流變量測學、雷射光散射、精密光學儀器架設(流變光學、多角度動靜態光散射)、高分子奈米膠體粒子合成、程式寫作(C++、Fortran)。

【About】RWhasmorethan10yearsinthefieldofrheologyanditsapplications.Heistheauthorof11SCIarticles,includingprestigiousjournalssuchasJournalofRheology,Macromolecules,etc.【AcademicTraining】BS&PhDinchemicalengineering,NationalChungChengUniversity,Taiwan(2011);PostdoctoralResearchAssociate,CornellUniversity,NewYork(2012–2015).【ProfessionalExperience】RDScientist,HeraeusPhotovoltaics(2016–2019).【Interests】Polymer&ColloidalSuspensionRheology;Rheometry;LaserLightScattering;OpticalInstrumentation(lightscattering&rheo-opticaltechniques);SynthesisofFunctionalNanocomposites;Programming(C++&Fortran). 檢視我的完整簡介 外部連結|ExternalLinks 回首頁 Sci-Hub JournalofRheology 應用說明庫(TAInstruments) 網路研討會(TAInstrumentWebinar) 應用報告(AntonPaar) 網路研討會(AntonPaarWebinar) 雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網 cplusplus.com InjectionWorld(雜誌) 電子製造，工作狂人