【觀念數學系列】如何提升數學理解的層次？ - 斜槓教師的教育 ...

還有就是，是否具備對於學習內容詮釋的能力？ 這一篇文章，我們就是要來探討，如何避免淺層學習？並且讓理解數學的層次再更深一層。

Skiptocontent 2022年3月22日 內容目錄 前言學習的四個層次層次一如何做出這一題？層次二可以這樣做的原因是什麼？層次三如何想到這樣做？還可以怎麼做？層次四試著自己出題學習習慣影響甚鉅為什麼思考無法深入？環境致使頻繁分心錯誤的心態錯誤的方法問出好問題：問問題前的四個步驟步驟一讀課本步驟二專心聽老師講解步驟三適量練習步驟四筆記整理自主學習的練習：預習 前言 在課堂上，老師在講解過程中，時常會問學生，是否已經懂了？ 但是，什麼叫做懂？ 有些學生會有這樣的困擾：為什麼明明「我認為」我懂了，但每次一遇到沒看過的題目，就是不知道如何下手？ 或者，遇到小範圍的考試還可以應付，但遇到大範圍的考試就慘不忍睹？ 我認為，會造成這個現象，是因為每個人認知的「懂」其實是有程度上的差異。

一個學生說的懂可能是在較淺層的位置，以致於在考試時，無法應付較深一層的考題。

我們可以去檢視一下，學生所說的懂，是只可以應付「一道題」抑或是「一大類」題目？ 還有就是，是否具備對於學習內容詮釋的能力？ 這一篇文章，我們就是要來探討，如何避免淺層學習？並且讓理解數學的層次再更深一層。

學習的四個層次 我們用問題來說明學習的四個層次 順帶一提，在歷史上，第一個將三角形ABC的三個角以A、B、C表示，而其對邊以a、b、c表示，使計算較為簡便的人就是有名的瑞士數學家LeonhardEuler。

層次一如何做出這一題？ 層次二可以這樣做的原因是什麼？ 這個題目本身就有強烈的暗示：三角形的角B的對應邊為8、角C的對應邊為5。

如此，我們會很自然想到正弦定理。

另外，因為三角形內角和為180度，因此可以將180度扣掉角B與角C得到角A。

接著再用到三角函數角度的轉換得出角A的餘弦值為負「3倍角C的餘弦值」，然後可以用三倍角公式得出。

以上說明對於熟悉的人而言是顯而易見的，但對於初學者而言卻是重要的。

層次三如何想到這樣做？還可以怎麼做？ 上面的題目很明顯就是想讓學生練習正弦定理，我們可以為自己加一些限制，刺激思考：如果不用正弦定理，還可以怎麼做？ 試著想想不同做法，是測試自己是否真的了解的好方法。

層次四試著自己出題 題目的條件可以調整嗎？ 題目的條件稍微調整為「給定求A的對邊長為10，角B的對邊長比角C的對邊長多4」，這樣還做得出來嗎？題目雖然問的是c，但可以算出角A的餘弦值嗎？ 如果我們可以算出c，就知道三角形的三邊長，當然算出角A的餘弦值就不是問題。

還有其他解法嗎？我們可以試試上一題的第2種解法： 試想想，還有什麼方法呢？ 學習習慣影響甚鉅 為什麼思考無法深入？ 環境致使頻繁分心 學習數理，環境的營造非常重要。

我們必須在一個安靜不被打擾的空間進行。

首先有兩件事情要特別注意：第一是3c產品的管控，要避免思緒一直被訊息打斷。

第二則是桌面最好維持乾淨整齊，如此可以避免桌面的雜物使自己分心。

錯誤的心態 前面提到的「思考的層次」，有為數不少的學生停留在第一層，因此總是抱怨，為什麼老師上課教的這麼簡單，考試卻這麼困難。

但真的是考試的題目比較難，上課教的例題比較簡單嗎？ 其實真實的原因往往是「看老師解得很簡單」但「自己卻解得很複雜」。

因為通常老師已經在第四層的思考階段，而學生還停留在一、二層。

這不要緊，只要掌握住正確的方法，並且實踐就行了。

致使人們無法進步的原因往往在於不願意改變。

我曾經遇過一些學生，雖然我一再強調了解公式背後的原理與意涵十分重要，但他卻仍然堅持，公式只要背起來然後多做題目就行了。

縱使他的成績始終差強人意，但他卻仍然不願意調整。

我也曾經在班上遇過學生當著全班同學說，數學只要一直算，把答案算出來就好，幹嘛管這麼多觀念和證明。

對於這樣的學生，已經不是學習方法的問題，而是個性與心態的問題，就不在這篇文章的討論範圍了。

錯誤的方法 不懂怎麼辦？那就先背下來吧。

這是很多學生會採用的學習策略。

背起來似乎很快，但長期下來，傷害很大。

因為數學的內容多到不可能背得完。

其中一個典型的例子就是，學生在解題時，將解答放在旁邊用看的，看完題目想一下，想不到就直接看解答。

這就是所謂淺層的學習過程，對於難度不高的國中數學也許還可以應付，到了高中很快就行不通了。

而且必定難以體會學習數學中那種思考的樂趣。

問出好問題：問問題前的四個步驟 在社群很常遇到初學者，把一道基礎題po出來希望有人解說。

這樣的學習方式是非常沒有效率且碎片化的。

如果學習數學，一直停留在學一題會一題的階段，必定事倍功半。

正確的方式應該是：學一個觀念後，會做整大類的題目。

步驟一讀課本 初學者問問題前，課本是否已經看過了？是否有照著課本的引導，將「歷史背景」、「內容介紹」、「例題解說」、「隨堂練習」好好看過寫過一遍？ 課本通常是教授與老師共同合作編寫，並且送交教育部審核通過的教材，已經架好學習階梯，容易自行閱讀，是強化觀念cp值很高的一本書。

捨棄課本，尋找補習班、家教、買參考書寫一堆難題，是捨本逐末的行為。

只要按照課本的邏輯循序學習，整體架構與觀念就會有一定的水準。

步驟二專心聽老師講解 在正常情況下，大部份老師都是認真負責在教學，如果說課本是初步引導，那麼就要專心聽老師如何詮釋內容。

因此老師對於學習者真的非常重要，如果只是照本宣科，就會有學生認為我自己讀就好，為什麼上課要聽？ 教小鳥怎麼飛一點意義也沒有，因為那是牠的本能。

用在形容有些教學現場再貼切不過。

站在學生的立場，如果沒辦法在學校系統裡遇到適合的老師，我也不反對在教育市場裡另覓適合的老師。

正如「刻意練習」這本書提到的，你必須為自己找到一個好的教練，才有辦法實踐刻意練習，才能在學習中獲得實質性的進步。

關於詮釋課程內容，我舉幾個例子說明： 對於一名初學者，他會看到指數律的「形式」然後用這個形式來解題，這是第一層的理解。

上課時，老師會設法將學生推向第二層，首先提醒學生，「底數」與「指數」的條件： 你是否發現，底數為任何實數，範圍非常大，此時指數的要求很多，必須為正整數。

那麼為什麼我們的指數不能是一般的整數或是分數呢？ 依照指數律的運算規則，當指數是負整數時，例如負1，就必須將該數倒數，如果底數是0就會出問題。

同樣的，按照指數律的運算規則，當指數是分數時，例如二分之一，那麼就會將底數開根號。

萬一底數是負數的話，就會產生虛數，不在中學討論的範圍。

並且可以順便告知學生，這是複變函數論的範疇，有興趣可自行找資料閱讀。

(閱讀這篇文章的讀者可直接點連結進入觀看開放式課程) 因此，如果想要將指數的範圍擴大至一般的整數與有理數時，底數必定要做更嚴格的限制，魚與熊掌不可兼得是很自然的道理。

我們再來看一個例子： 這是早期數學家拉普拉斯所提出來的定義，當然近代機率的定義與此相差甚大。

初學者不會注意到的關鍵字：機會均等 所謂的機會均等指的是，「相同要視為不同」，這是機率與排列組合一個很不一樣的地方。

例加：袋中有五顆球，其中2顆紅球、3顆白球，一次取出兩顆，則此兩顆球同色的機率是多少？ 按照組合的觀點，就會問，2顆紅球是相同還是相異？3顆白球是3異還是2同1異還是3同？「組合」會著重在看到的狀態。

但機率沒有這個問題，無論球是否相同，它都佔了一個被選到的可能，因此我們都將其視為不同。

此時我們可以再回到上一節「樣本空間與事件」，提醒一下，這裡對於樣本空間與事件的定義並沒有「機會均等法則」的要求。

機會均等法則是我們在談機率時才加上去的條件。

雖然中學數學不難，但就是有很多眉眉角角的細節，都有賴老師的詮釋與提醒。

步驟三適量練習 完成以上兩個步驟，就可以好好練習題目加強觀念了。

通常課本的題目較少且基本，學校會再買一本講義，這本講義的功能就是練習題目用的，每一題確實想過寫過。

然後不會做的題目不要急著看詳解，可以先放著，做看看其他題，如果其他題做得出來，就不用太擔心，也許只是一時沒有靈感，這種題目就可以先做記號之後可以寫進筆記本裡。

但如果發現，一連串的題目都不會，就要回去再把觀念、老師講解範例再重讀1~2遍。

步驟四筆記整理 這個步驟做的人很少，但卻是非常重要的一個步驟。

筆記觀摩：【課程】豪豬教授的手寫筆記—熱統計物理2 什麼是帶得走的能力？我認為寫筆記是其中之一。

清大物理系林秀豪教授曾經說過一句話，讓我印象深刻，大意是：如果你連生產出一本筆記的能力也沒有，那你其實有很多事都不可能做得好。

筆記的用處有幾個：1.將觀念做精鍊化的整理2.收錄好題目3.擴充相關主題的內容4.手寫筆記有助於思考與記憶。

如果想知道更多寫筆記的細節，可加入FB社團：搜索「我愛寫筆記」，目前已有五千多位社員，足見大家對於寫筆記擷取知識的重視與喜愛。

另外我再分享一個很棒的APP：notion 這個APP，有電腦版軟體、Android版、IOS版，且同個帳號可同步更新，而且免費，這是目前我用過最方便的數位筆記軟體。

有了以上的動作後，大部份的問題基本上都可以獲得解決，接下來就可以針對進階問題進行思考，如果苦思2天仍無對策，此時就可以尋求社團的協助，也比較能夠問出有價值的問題。

自主學習的練習：預習 108課綱強調培養學生自主學習的能力，這個能力非常重要，也是學校納入規劃要來協助學生的部份。

曾經看過一段話我覺得很棒 我們不一定要是那個領域的頂尖人物才能對他人有所幫助。

無論你在該專業領域的哪個位置，都一定有比你好的人，也有比你差的人。

而你創造的價值，自然能幫助到那些知識水平不如你的人。

所謂的老師，有時候也只是那些比你先讀一段的人而已。

因此，預習也可以是一個人學習積極度的展現。

我曾經在國家理論中心擔任暑期研習生，當時師承中心科學家的啟發才知，原來優秀的人不依賴別人講課給他聽，而是自己事先探索閱讀，然後講給別人聽。

雖然過程痛苦許多，但卻更為深刻且精實。

懂不懂？試著講給別人聽就知道了！ 這篇文章就先分享到這邊，希望對於在學習數學上苦苦掙扎的讀者能有一些幫助。

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