流體力學講義- PDF Free Download

流體力學講義王曉剛義守大學機械與自動化工程系目錄: 0. 流體力學回顧4. 流體力學簡介..7 - 因次dimensions 與單位nits.7 - 黏滯力iscosit.8 - 枯魏Coette 流場及波蘇 ... 流體力學講義 SHARE HTML DOWNLOAD Size:px Startdisplayatpage: Download"流體力學講義" Error: DownloadDocument 兰刁 3yearsago Views: 1流體力學講義王曉剛義守大學機械與自動化工程系2目錄:0.流體力學回顧4.流體力學簡介..7-因次dimensions與單位nits.7-黏滯力iscosit.8-枯魏Coette流場及波蘇拉Poiseille流場..4-黏滯係數之測量..7-剪應力場stessfield..8-流體力學分析方法...流體靜力學FlidStatics.3-流體內壓力分佈..3-壓力之測量..3-平板潛體之液體靜壓.37-曲面潛體之液體靜壓浮力boanc基本流體動力學-白弩力方程式Benollieqation流體沿流線steamle方向力之平衡.493-流體垂直於流線方向力之平衡.57-靜力壓停滯壓動力壓與全壓.65-白弩力方程式之應用流體運動學FlidKematics.78-速度場elocitfield加速度場acceleationfield..8-控制容積contololme與系統sstem表示法雷諾轉換定理Renoldstansottheoem885.有限控制容積fitecontololme分析.96-質量守衡.96-牛頓第二定律動量守衡03-能量守衡46.流體微分diffeential分析..-流體元素運動學kematics-質量守衡8-動量守衡非黏滯流體流場iscidflow.4-黏滯流體流場iscosflow..534第0章流體力學回顧流體力學知識可應用到氣象學meteoolog海洋學oceanogah水文學hdolog醫療研究例如血液循環及人工心臟等交通運輸例如飛機與火箭之空氣動力學aeodnamics及船艦及潛水艇等土木工程例如水災控制民生供水地下水輸油管等阿基米得chimedes與亞歷山大大帝Heoofleandia發展出向量定律浮體與潛體之浮力,並導出微觀微積分學羅馬人在西元前~400年已建造供水系統達文西Daci在5世紀導出質量守衡定律,並用以解釋水波噴流jet水流猛脹hdalicjm等馬瑞奧特Maiotte在6世紀建造第一個風洞牛頓Newton於7世紀導出運動方程式線性流體之黏滯度iscositofleaflid-此類流體稱為牛頓流體newtonianflid,他並導出非黏滯流體efectofictionlessflid之運動方程式白弩力benolli歐拉Ele拉格蘭及Lagange45拉普拉氏Lalace等人解出很多的非黏滯流體流場問題歐拉Ele將流場以微分diffeential及積分tegal型式表示,此導致白弩力方程式之產生之後科學家開始運用實驗方法而衍生流體力學之一支水力學hdalics皮托Pitto偉伯Webe哈根Hagen波蘇拉Poiseille達西Dac等人做了很多管路水波船體阻力等實驗9世紀時,科學家結合實驗水力學eeimentalhdalics與理論水動力學theoeticalhdodnamics,而建立現代流體力學之基礎福祿德Fode發展出用模型做測試瑞理Raleigh提出因次分析dimensionalanalsis之技巧雷諾Renolds證明一無單位參數稱之為雷諾數Renoldsnmbe之重要性那伏亞Naie及史多克Stokes將黏滯力項加入運動方程式而導出Naie-Stokes方程式,但此方程式求解困難此困難被0世紀最偉大之流體力學與熱傳學家普朗多56Pantdl解決,普朗多提出邊界層理論bondalaetheo-流體流經物體,在表面會形成一層薄層稱之為邊界層,只有在此薄層內黏滯力影響重要,而在此薄層外大部分之流場黏滯力不重要,固可假設為非黏滯流體,並可使用白弩力方程式描述流場0世紀其他偉大的流體力學學者包括馮卡門onKaman及泰勒Talo等人,在黏滯流邊界層紊流等方面均有不可磨滅之貢獻自~990年以來,因高速計算機之長足進度,而發展出以數值分析的方法解析複雜流場之問題此稱為計算流體力學comtationalfliddnamics,CFD,現今常用之CFD軟體有PHOENIX,FLUENT,CFD000等67第一章流體特性簡介.因次dimensions與單位nits主要因次SInitsciledimensions質量Mass{M}/力Foce{F}公斤kilogamkg/牛頓NFMLT-長度Length{L}時間Time{T}溫度Temeate{Θ}公尺metem秒s凱文K其他導出之單位:foceofnewtonNkg.m/senegofjoleJN.moweofwattWJ/sesseofascalPaN/miscositkg/m.ssecificheatJ/kg.Km/s.k例:證明白弩力方程式Benolliseqation中每一項之單位相同78解:ogh{N/m}{N/m}{kg/m3.m/s}{kg/m3.m/s.m}kg/m3.m/skg/m.skg.m/s./mN/m密度densit:kg/m3mass/nitolme比容secificolme:m3/kg/比重量secificweight:γg單位體積重量你多重?比重secificgait:s.g./HO例:s.g.hg3.6解:Hgkg/mX03kg/m3.黏滯力iscosit問:水與油之密度相仿,為何其流動特性相異?固體:當一剪應力sheastess施於固體時,固體之變形角度正比於施力,而變形不隨時間而變化defomationangleΘfoce89流體液體或氣體:任一大小之剪應力施於流體時,流體之變形角度將隨時間而增加fliddefomscontosl由實驗得知:固體在虎克定理hookeslaw下,變形角度正比於施與之剪應力而流體之變形率defomationate正比於施與之剪應力910假設流體靜止於兩板之間,當上塊板施與一力P,當平衡時此板將以一速度U移動,流體與上板及流體與下板均無相對速度,故連接處流體之速度分別為U及0,此稱為無滑動條件no-slicondition兩板之間流體將產生流動,而其速度將可證明為線性,U/b,並產生一速度梯度elocitgadient,d/dU/b在微小時間δt內,流體中B線將旋轉角度δβ,故tanδβδβ因δaUδt,故Uδtδβbδab又變形率defomationate可表示為δβγlimδt0δt,但Uγbdd而變形率又正比於剪應力ττP/,故011dτγ,或τd對大多數液體與氣體,剪應力與速度梯度可表示為dτµd.µ唸m:黏滯係數iscosit或動力黏滯係數dnamiciscosit,kg/m.sν唸nµ/運動黏滯係數kematiciscosit,m/s12當.式成立時,稱之為牛頓流體newtonianflid,反之稱之為非牛頓流體non-newtonianflid黏滯力之物理意義:氣體:氣體之黏滯力是由於氣體分子之間碰撞,造成動量交換momentmechange而產生液體:液體的分子以長鍊longchange形式組成,液體之黏滯力乃由於長鍊與長鍊間之凝聚力cohesionfoce所造成13粘滯力與溫度之關係:當溫度增加,氣體分子之能量與動量均增資,分子間之碰撞及動量交換亦增加,故黏滯力增加對於液體,分子鍊間之凝聚力隨溫度增加而破壞,黏滯力亦減小314415.3枯魏Coette流場及波蘇拉Poiseille流場流體在管路內產生流動的方法有兩類:.由於邊界移動,例如兩平板之間之流場,此類流動稱之為枯魏Coette流動.由於管路內有壓力降essedo,例如普通水管内之流場,此類流動稱之為波蘇拉Poiseille流動因牛頓流體之剪應力τ正比於流體之速度梯度d/d,故流場內之速度分佈elocitofileoelocitdistibtion可由剪應力積分而得之;反之,若已知流場內之速度分佈,則可將其微分而求得流場內剪應力之分佈流場內之剪應力,可視為任一假想平面與其緊臨平面間之磨擦力fictionalfoce例:枯魏流動流體於兩平行平板內,上板以速度移動,求出流場之速度分佈516解:當此控制容積contololme達到平衡時加速a0,所有之受力亦達平衡在方向const.In-diectionWh?ττ在任一垂直於軸之平面dτ又const.dµ兩邊積分,可得ab代入邊界條件:.0at0no-slicondition.athno-slicondition此為無滑動邊界條件,適用於任何黏滯流體與其他物體接觸時使用求解為:h此為速度分佈為線性反之,將上式微分可得τhconst.故剪應力為一常數6177例:波蘇拉流動求圓管內流場之速度分佈解:此類流場d/d0,因流體向方向流動,故>,且d/d<0,此控制容積在平衡下τππddτµ為何負值?4cµ邊界條件:0atR,4Rc4Rµ-d/d,d/dessegadient為ma40Rµ18平均速度為Rπd80µπrRmaHW:求出兩固定平板間波蘇拉流動流體之速度分佈.4黏滯係數之測量圓筒旋轉式黏滯計iscomete中心圓筒固定而外層圓筒旋轉,固定中心圓筒所需之力以力矩計toqemete計算之因間隙極小,故流體在間隙內可視為枯魏流動其中τµU/Uω,FT/τTπh819故µT3πhω.5剪應力場stessfield流體內力foces可分兩類:.體積力bodfoces-重力gaitationalfoce,gd電磁力EMfoce等.表面力sfacefoces-應力stessfoce壓力essefoce流體內任一微小平面δn上均可找出切線方向力δft及法線方向力δfn,其單位面積所遭受的力應力分別為τt與σnsheastessnomalstessFtδτtlimδ0δδfσnnlimδ0δ920故σFδlimδ,τ0δδflim,τδ0δδflimδ0δ注意下標:τ:應力位於垂直於軸之平面上:應力在方向在流體中任一微小六面體共有8個應力:但此六面體在平衡下:021σσ,σττ,τττ,τ因此只有6個獨立的應力σ,σστ,因此物體不會移動τ,因此物體不會轉動當0,0,0,此六面體趨近為一點,故流體中任一點均可以6個應力表示之:στττστττσ之為張量tenso此為對稱矩陣,有6個未知數,此矩陣稱假如流體為非黏滯流體non-iscosflowoiscidflow或無磨擦力fictionless,則τττ...0σσσ此為流體靜壓hdostaticesse例:枯魏流動流體內剪應力表示法dτµd22.6流體力學分析方法流體力學問題的分析方法,一般可分為兩類:.系統sstem方法.控制容積contololme方法而此二方法又分別可以用有限fite或積分tegal的處理法以及無窮小fitesimal或微分diffeential的處理法進行之系統:代表一固定質量之空間範圍,系統邊界不可有質量之傳輸但可有熱與功的傳輸QW熱力學第一定律Ess控制容積:空間中任一範圍,流體可流進或流出23流體力學觀測方法流體力學觀測的方法友兩種:.拉格蘭及恩lagangian法觀測者隨流體一同運動.歐拉瑞恩eleian法觀測者位於空間中一固定點,不隨流體運動此兩種方法各有優缺點,容後再述324第二章流體靜力學flidstatics當流體靜止,或流動時任二連接之平面無相對速度時,流體任一點無剪應力sheastess,唯一存在的力為垂直方向的應力,即壓力,此壓力稱為液靜壓hdostaticesse.流體內壓力分佈essedistibtion流體內任一微小楔形字形物體在平衡下靜止或以等速運動:F0δδδδssθsF0δδδδδsδδscosθg其中δδscosθ,δδssθ425s,sgδ此代表在沒有剪應力時,流體靜壓在水平方向沒有變化,而在楔形體底部壓力垂直方向比上平面壓力高,其差即為楔形體流體之重量當δ0,δ0,δ0,楔形體趨近為一點,則因為角度θ為任意取決,故可得一結論:在沒有剪應力流體靜止或等速運動時,流體內任一點之壓力與方向無關,且壓力為一純量scala而非向量ecto-此稱為巴斯葛定理Pascalslaw此情況下,流體內任一點之壓力定義為:σσσ3壓力場essefield在一無剪應力之流體內,一微小六面體上壓力分佈如下圖所示:5266在方向的淨力為Fδδδδδδδδδδ同樣地,Fδδδδ,Fδδδδ故施與此六面體之壓力合力為kjiFkjFFiFessδδδδδδδ定義任一純量之梯度gadient為kjigadkfscalajfscalaifscalafscalefscalagad注意:其結果為一向量27故此六面體因壓力所受之淨可以壓力梯度表示之:δFessδδδ梯度是什麼???方向導數diectionaldeiatie:純量f在任一點P依單位向量bb之方向的變化率,稱為f在P點沿b方向的方向導數,表示為Dbf或df/dsDbfdfdsfQlims0sfP其中Q為b方向射線C上的可變點,射線C為ssisjskPsb,s0應用鏈鎖法則chale,可得Dbfdfdsfddsfddsfddsdsdsdsds又ijkbdsdsdsdsdf故Dbfbfds若方向為任意長度不為零之向量a的方向,則728Dafdfadsaf方例:求f,,3在點P:,,3沿向量aik解:向的方向導數Daf4i6jk,故在P點f8i6j6kdf4aikff8i6j6k.789dsa55負號表示f在P沿a之方向遞減梯度特性:.純量f在P點之梯度的方向,為f在P點有最大增加率的方向Dbfbfcosθfcosθ其中θ為b與f的夾角,固Dbf的值在f的方向為最大.若純量f,,cconst.代表空間中一曲面例如等壓面等溫面,則在此曲面上P點處f的梯度方向,就在P點處法線向量nomalecto方向829HW:在一流場中壓力的分佈為,,,求在點P:-0.,0.,上壓力變化最大的方向為何?此方向上壓力對位置之變率為何?流体中δδδ構成之六面體之表面,遭受壓力所造成的力為δFessijkδδδδδδ注意:流體中力非壓力而產生,乃壓力梯度而產生每單位體積壓力造成之力為fessdfessδfessdolmeδδδ此力必須被其他力重力黏滯力等平衡之梯度的物理意義:一純量之梯度即造成每單位體積的一種驅動作用digaction,負號代表此驅動作用之方向為此純量減少的方向,例如即造成930重力:一種引起流體流動的驅動作用,而-T即造成一種引起熱流動即熱通量heatfl的驅動作用fgag每單位體積重力造成之力黏滯力:µ每單位體積黏滯力造fiscos成之力由牛頓第二定律動量守衡conseationofmomentmaffff...gµ...iiess注意每一項的單位gaiscos流體靜壓hdostaticesse分佈當流體靜止或以等速運動,則a0,且µ0Wh?則0g即{任一點上每單位體積壓力降所造成之力}{任一點上每單位體積重力所造成之力}0壓力梯度永遠垂直於等壓面sfaceofconstantesse向量展開:ijkgigjgk0其中g0g,g故0,0,gg3031此代表壓力不為與之函數,只與高度有關:,,積分可得gd當流體為不可壓縮comessible流體即const,則g當流體為可壓縮comessible流體即不為常數,利用理想氣體定律,則gRTgdlngRdT若溫度為常數,則egRTHW:算出玉山山頂之壓力大氣中的溫度隨高度之變化為TKm332.壓力之測量絕對壓力absolteesse:相對於真空零壓力之壓力表壓力gageesse:相對於當地大氣壓力之壓力標準大氣壓9.9Hg760mmHg0.35kpaPaN/m測量大氣壓力儀器稱為baometeghghaoatm若流體為水銀mecHghgatmm760mm此大氣壓稱為ba等高/等壓定律eqalleel/eqalessecile-流體中壓力的變化只與流體密度與高度有關,而與大小形狀或容器之方向無關3333此原理可以說明液體千斤頂hdalicjack及液壓煞車hdalicbake的作用若不考慮B,C點之高度差,活塞C所造成的壓力會被整個流體感覺到,因此3334FFBCBCBC當B>>C時,可得到相當大的機械效率壓力管ieomete:點的壓力可測量為ghatmabsolteghgageU-形壓力計U-tbemanomete:利用U管內等高/等壓原理,可量出壓力點的壓力可測量為gageghgh若流體為氣體,則gh雙開口式U形壓力計:3435,B兩點之壓力差可計算如下:3536ghgghBBgh問:壓力計位置與結果是否有關?若0,故總合力不會通過質心,而通過之壓力中心ccenteofesse,R永遠位於質心之下方同理,壓力中心對應於軸的位置R可表示為:4041其中dIdRcIc,I為面積對軸的二次矩,定義Ic為面積對通過質心且平行於軸之軸的二次矩,且II,RccccIcc當此平板對應於通過質心且平行於軸之軸為對稱,則Ic0Wh?Icddddd0fofofofo結論:.靜壓總合力為FRghcc質心之壓力平板面積.總合力通過壓力中心R,R,非質心c,c442443例:問閘門上靜壓總合力大小及其施力點,欲關閉此閘門應於閘栓sto處施與多少力矩?43440s60解:.547coFRghcπ430kN44πIcR0,4Rcc.55π44Rc當閘門靜止時,對應於旋轉中心c點之力矩為零,MF0,M30knm07knmRRc壓力三掕鏡esseism-流體靜壓施與流體內垂直平板上之總合力,可以用類似三掕鏡的體積表示之FRhaeg[ghbh]三掕鏡的體積當容器為加壓系統,asgageesse,則計算施與容器邊界之力時不可忽略a,如下例:444545力的平衡:ghFFFsR力矩的平衡:3hFhFFFFRR由此兩方程式可求出總合力施力點R例:求出窗口之總合力及其施力點,液體比重為0.946解:FsghNhh0.6FgN故合力為:施力點o為FRFF5.4knFRoF0.3F0.,om問:大氣壓對結果有無影響?例:欲關閉閘門須多少力?力矩平衡:FLtFLbLFLbLsLbLglLbLFtsLbglLbN問:IsFtFF?Wh?4647.4曲面潛體之液體靜壓曲面上任一面積元素d之力為故dfFRd,方向為此面積之法線方向dFR,iFR,jFR,k此力在三個方向的分量,可以此力與各方向的單位向量作內積neodctodotodct:FFFR,R,R,FFFijkdfididdfjdjddfkdkddfdfdf結論:.曲面上水平分力FR,及FR,及其施力點,等同於此曲面4748在及方向上投影平面上之力.曲面上垂直分力FR,或F及其施力點,等同於此曲面在方向上投影平面上之力,亦即此曲面上方流體之重量FR,Fdghdgdg此垂直分力之施力點,通過曲面上方流體之重量中心centeofgait,如下圖所示:FH,FFWF曲面BC所受之合力注意:此力與流體BC所受之力FH及4849F的方向相反為:FRFHF問:欲固定曲面BC所需之力及其方向為何?問:如何決定此力通過之點O?例:求曲面遭受之力及其施力點解:FghCgCCFHFghBweight.of.flid.aboe.BWweight.of.BCπBg4FFWweight.of.flid.aboe.BC合力為:FRFHF求O點,解,:WFBO點垂直位置為何?4B3π4950.5浮力boanc浮力:潛體或浮體遭受液體靜壓力之合力,稱為浮力boancoboantfoce阿基米得原理chimedescile:.一潛體遭受垂直之浮力,等於此潛體排開液體之重量.一浮體排開液體之重量,等於此浮體之重量證明:或FBFFflidweightaboesfaceflidweightaboesfaceweightofflideqialenttobodolmeFBdhgdhgbodolmebodbod5051第三章基本流體動力學-白弩力方程式Benollieqation當流場為非黏滯iscidonon-iscos流動時,流體遭受的外力只有重力及壓力,此時流體運動方程式牛頓第二定律會導出一方程式,稱為白弩力方程式,其雖由非黏滯流動假設導出,但其應用極大問:何種情況下,流場可假設為非黏滯流動?3.流體沿流線steamle方向力之平衡牛頓第二定律:maFaticlemassaticleacceleationnetessefoceonaticlenetgaitfoceonaticle若流場為穩態stead,流場中任一流體粒子flidaticle會流經一路徑,此路徑稱為流線steamle,流體粒子在流線上任一點之速度向量,為流線上此點之切線tangent方向552流體粒子在流線上運動的距離,sst,流線上任一點之曲率半徑adisofcate,RRs,流體粒子之速度,ds/dt,加速度ad/dt,此加速度有切線與法線兩方向的分量:addtasansn其中切線加速度為as法線加速度為ddsdtsdtsanR,sst553流體粒子力的平衡:δFsδmasδ,δδsδnδs流體粒子之重力為δWgδ其在流線方向之分量為δWsδwsθgδsθWh-?535454假設流體粒子中心之壓力為,則垂直於流線之兩平面上之壓力為δs及-δs,因流體粒子為無限小fitesimallsmall,應用泰勒展開Taloeansion:ssδsδ故流體粒子在流線方向遭受到壓力之淨力為:注意方向snssnnnFssssδδδδδδδδδδδδδδ則流體粒子上力之平衡為sgFWFsssδθδδδs故ssgθs例:一穩定之不可壓縮非黏滯流體流過一圓球,由位能流otentialflow理論可知其沿B流線之速度變化為33ao,求此流線上壓力之變化5555解:沿B流線,θ0,運動方程式變為ss其中aaaasooo故沿B流線之壓力梯度為/3aao最大壓力梯度發生在何處?沿B流線之壓力分佈可積分而得:]/[aaddogage56在B點壓力達到最大,而速度變為0,此速度為0之點稱為停滯點stagnationot流體粒子的運動方程式可改寫為ddgdssds因sθd/ds並可化簡為ddgd0沿任一流線若密度為常數,任一流線上,從任一點到其他一點,此方程式可積分為gg0或gaconst.alongsteamle此稱為白弩力方程式Benollieqation注意白弩力方程式之適用範圍限制為:.穩定流場.非黏滯流體3.不可壓縮流體密度為常數4.沿任一流線上5657例:解釋下圖白弩力方程式適用之範圍例:求下圖,兩點之壓力差解:ggo,,0何處是停滯點?5758o另解:dddg,dssdsdddddd,od問:當此自行車加速或減速時,此結果是否有效?例:討論下圖各點之能量,以壓力頭essehead動能頭ketichead及位能頭otentialhead表示之注意:壓力在3點均為大氣壓表壓為05859能量形式動能頭位能頭壓力頭點/ggage小0大大小大0問:水噴出小孔點所需之力,由何而來?點間有無很大之壓力降?點3間又如何?3.流體垂直於流線方向力之平衡流體粒子在法線方向因圓弧運動而遭受之離心力centifgalfoce為:δmδδRRFn此離心力必須被重力與壓力平衡,以維持此流體粒子以等速前進流體粒子在法線方向之分量為δWnδwcosθgδcosθ流體粒子在法線方向遭受到壓力之淨力為:δfnδδsδδδsδδδsδδnδsδδnnnnn5960則流體粒子上力之平衡為δFnδwnδfngcosθδn故dgd,cosθdnnRdn注意:n之方向為向著曲率中心若密度為常數,任一垂直於流線之法線上,從任一點到其他一點,此方程式可積分為dngdngRR0或dngaconst.alongRanomalle此稱為法線白弩力方程式例:a強迫渦漩focedote及b自然渦漩feeote之速度分佈為:a求其壓力分佈ooCC,b,6061解:因流線位於水平面平面上,故d/dn0,n//,R,應用dg,dnnaC,CooCb3,Coo另解:應用dngdngoRRabCCdoooCooCCd3o3odd662Co問:此例中均/>0,流體粒子遭受何力?有何物理意義?o例:求下圖各點之壓力變化解:B間流線曲率半徑為R,故點之間法線方向之壓力變化為gaconst.alongnomalle因atm0gage,ggh故此部分壓力變化與靜壓相同34,atm04gagedg34RanotanotdgR46634g43dgh4RR3d因上式中之積分項大於零,故點3之壓力小於當CD為直線時點3之壓力,此減少之壓力乃由於流體粒子之離心力造成問:流體流過弧形圓洞時,上述結果有何改變?剛體旋轉igid-bodotation-旋轉流體個點之速度雖因與中心之距離不同而不同,但角速度anglaelocitω均相同,此稱為剛體旋轉旋轉體之液面如下圖:運用圓柱座標cldicalcoodateseeθθe6364任一點流體粒子之加速度為aeωe,aθ0,a0力的平衡ageekω,0,θg此代表在方向,越靠外緣壓力越大以提供旋轉所需之向心力,在θ方向無壓力變化,在方向壓力變化與靜壓相同等壓線:dddωdgd在等壓線上例如水平面d0,故等壓線方程式為ddωg,ωgC壓力分佈:dωdgdω,gC故在同一垂直線上相同,g6465與靜壓變化相同在同一平面上相同,ω此壓力差即為向心力渦漩otices渦漩除分為自然渦漩feeote例如浴缸排放水與強迫渦漩focedote例如攪動咖啡外,自然界往往有自然渦漩與強迫渦漩同時產生,例如龍捲風洗衣機水流等其速度分佈如下圖,例如龍捲風外緣為自然渦漩,而中心部分威力強大部分為強迫渦漩,6566點為龍捲風中心,點為強迫渦漩與自然渦漩之交界處,點3為外違較不受影響處速度~為零,壓力為大氣壓,則任一點與點3之關係為Cs3oo3C故越往內部壓力越小,此壓力差提供內部流體作旋轉時所需之向心力點之壓力為oma在強迫渦旋區,壓力分佈為gωgω6667omama在中心點速度為零,故壓力為最低,oma此壓力差造成一股向龍捲風中心,再向上之流場,造成破壞3.3靜力壓停滯壓動力壓與全壓白弩力方程式中gTaconstalongasteamle.其中第一項代表流體真正之熱力學壓力themodnamicesse,其測量的方法為測驗者與流體無相對速度之情況下測量之壓力Wh?,故稱為靜力壓staticesse,或以單管壓力計ieomete測量之:6768gagegh.第三項g稱為液靜壓hdostaticesse,代表因高度改變而改變之位能與其相當之壓力3.第二項/稱為動力壓dnamicesse,其測量的方法為比較上圖二管之液高差:gHhWh?圖中點流體停滯,稱為停滯點stagnationot,其壓力稱為停滯壓stagnationesse,其一定大於靜力壓:68694.靜力壓動力壓及液靜壓之合T稱為全壓totalesse,白弩力方程式代表任一流線上,流體之全壓為一常數皮托管itot-tbe-利用流體停滯壓與靜力壓之差,求出動力壓,以求出流體流速6970皮托管測量出s與之差:ggghggghsgghg此壓力差相當於流體動力壓/,故流體速度為sghg問:測量結果與位置與有無關係?當00θ同理,當流體流進控制容積,如下圖所示,πBContolSfacebcosθdContolSfacebnd9697πθ,θπ注意此處cosn<0故淨流出量為BotCSBCSbnd雷諾轉換定理可通式化為otbndbndCSDBDtsstCbdCSbnd問:n有何物理意義?9798第五章有限控制容積分析fitecontololmeanalsis控制容積分析可分為兩種:.有限體積非無限小分析法,因往往得到積分方程式,故又稱為積分控制容積法tegalC..analsis.無限小fitesimal分析法,因往往得到微分方程式,故又稱為微分控制容積法diffeentialC..analsis此兩種方法各有優缺點,有限分析法將控制容積當一整體看待,故可求出此控制容積整體與外界之交互作用,如對外界產生之力,但容積各處細部之訊息缺乏,例如無法得知個點之速度壓力溫度等訊息;反之,無限小分析法將控制容積當作空間中一點任何一點,故可求出流場中各處之訊息,但流場整體對外界之影響無法得知,此分析法將於下章討論5.質量守衡連續方程式contiteqation9899假設系統與控制容積於時間t時互相重疊,如下圖所示:則由雷諾轉換定理,或DDtssdtmtCcdtimeatechangeofthemassofthecocidentsstemCSotndotottimeateofchangenetateofofthemassoftheflowofmasscocidentC..tothe..注意:上式中,每一項單位均為kg/s,並為一積分方程式Dmss因質量不滅:0Dt故0dndtCCS此稱為質量守衡定律或連續方程式當穩定狀態:99100dtC0故淨流進控制容積之質量為零OI0:ndCSotmotototm0其中mQ稱為質流率massflowate,並可定義截面上之平均速度nd例:求下圖水管之供水體積流率olmeflowatet解:dnd00CCSm,QQm,QQ0.05m3/s00101例:空氣流經圓管如下圖,求截面之平均速度解:mm,,又RTTTo8.4sia540R000o00sia453Rft/s9ft/s注意:連續方程式亦可使用於可壓縮流體例:層流lama不可壓縮流體流於圓管內,求截面之最大速度與平均速度0102解:otototU0RotototπdWHY?RπdU0層流流體達到完全成形區flldeeloedegion,速度不再隨管子長度而改變時,其速度分佈elocitofile為拋物線方程式Wh?:ma0[R4ma04RmamaU,UR代入積分,ππrU0故層流流體達到完全成形區時,其最大速度為平均速度之倍若流體流動於兩平行平板間,則如何?]0移動控制容積cWW:相對速度,即在移動控制容積上觀測之流體速度0103c:在固定座標上觀測之控制容積速度W:在固定座標上觀測之流體速度則在移動控制容積上觀測到之質量守衡為:tCdmtcCSWndototWotW0例:求下圖飛機在穩定狀態下,油料之進油率解:CSmWndmfelWfelWWW003104例:邊界層理論bondalaetheo下圖流體流經一平板,速度分佈由平滑變為一曲線,可以下列方Uδδ程式表示之:,δ為邊界層厚度,問:是否有流體流過bc面?是否有垂直速度分量?解:nd0CSabndndndnd0mbcbcbcndabcdndcddandδndUdUdUδabab0δnddU[δδcdcd0Uδ]d3mbcUδUδUδ>故有垂直方向的速度分量04105問:試畫出平板上二度空間之速度分佈5.牛頓第二定率動量守衡牛頓第二定律:timeateofchangeofthemomentmofthesstem{bodfoce}sfacefoccesesseiscosDDtssdFss假設系統與控制容積於時間t時互相重疊,如下圖所示:則由雷諾轉換定理,FssFcontentsofthecocidentCDDtssdttCCddCSndotototot05106或timeatechangeofthemomentmofcocidentsstemtimeateofchangenetateoftheofthemomentmoftheflowofmomentmcocidentC..otoftheC..故以控制容積而言dndtCCSdotottCototFcontentsoftheC注意:上式中,每一項單位均為kg.m/s,並為一向量方程式,故有三分量此式可以下式表示之:OISFcontentsofCtheStoageateOtflowateInflowateofmomentmofmomentmofmomentmtheCikgm/skgm/skgm/s此為控制容積法表示之動量守衡定律Fi06107例:欲固定下圖物體,須施與多少固定力anchogfoce?解:iwkwwFFcosθFsθ0FFcosθmcosθFsθmsθ此固定力之方向為何?例:求下圖水龍頭噴嘴之固定力07108解:解法一以噴嘴水為控制容積0810909CtheofcontentsototototF,,,,WWFWWFmmWWFwwwnatmabsatmabswnatmabsabswnmmm0>WWmWWmFwnwn注意:>,Wh?解法二以噴嘴水分別為控制容積以噴嘴而言:0RWFatmn以水而言:,,WRmmabsabsw110mRWw,abs,abs結合此二控制容積,消掉管壁磨擦力R:FmWW此結果與解一相同nw注意:管壁磨擦力R雖與大氣壓有關,但固定力只與表壓有關例:求下圖U形管之固定力解:解法一以管水為控制容積ijwk01110FmmFmFFF,abs,absatm,absatm,absatm注意:F為負值,Wh?解法二以管水分別為控制容積以管而言:0FRatm112注意:R為負值,Wh?以水而言:mR,abs,abs結合此二控制容積,消掉管壁磨擦力R:Fm此結果與解一相同問:磨擦力R與固定力F誰大?為何?例:求下圖截面與截面間之壓力降essedo113解:控制容積只包括水,不包括管子之垂直方向之動量守衡:wotototwRW其中R為管壁磨擦力注意方向wwwwmwπrwotototwRπw[R04πwwdR3Rw0]πdd43wπRwπrRWwWR3注意:.上式第一項為流體從截面之平滑nifom速度分佈,轉變為截面之拋物線速度分佈,動量流率wm之增加量即使質流量相等,截面之動量流率並不相等,非平滑速度分佈之動量流率永遠較平滑速度分佈之動量流率為大,Wh?.上式第二項為重力造成之壓力降,當管路為水平時,3114此項消失3.上式第三項為磨擦力造成之壓力降,當管路為水平,且截面均位於完全成形區flldeeloedegion時,此項為造成壓力降唯一的原因,其與流體之黏滯剪應力τiscossheastess如下圖流體內控制容積力之平衡所示:當R管壁上ππτπτw其中τw為管壁剪應力wallsheastess,此例中磨擦力R即為管壁上總共之管壁剪應力:Rπτw壓力降若以位置變率表示:dd4115此稱為壓力梯度essegadient,當流體向右流動時,此項為負值Wh?例:邊界層理論bondalaetheo下圖流體流經一平板,速度分佈由平滑變為一曲線,可以下列方Uδδ程式表示之:,δ為邊界層厚度,問:平板施與流體之拖曳力dagfoce解:由動量守衡:ndndF3DhUoUodd0DUohd其中h為未知,可由質量守衡求得:δ0δ05116hnd0UoddCSUohdδDUd0oδ此稱為邊界層之動量積分定理momentm-tegaltheoδδDU0Uo0odUδo0δδδηηηηdη5[δδUδo]d注意:拖曳力隨邊界層厚度增加而增加,邊界層厚度隨平板長度增加而增加5.3能量守衡熱力學第一定律對系統而言:timeateofceasenettimeateofenegofthetotalstoedadditionbheattansfeenegofthesstemtothesstemnettimeateofenegadditionbwoktansfetothesstem6117DDtedQQotssWssWotss或DDtedssQWnetnetss物質能量eeneg/mass可表示為egt{enaleneg}{keticeneg}{otentialeneg}當時間t時,系統與控制容積重合:QWQWnetnetssnetnetcocidentC利用雷諾轉換定律be故DDtssededendtttCCCededCSeeototmototototemetCedCSendQWnetnetC功W分為有用的功與無用的功,WnetWWnetseflnetnonsefl其中有用之功包括活塞iston功轉軸shaft功7118等,無用的功稱為流動功flowwok,代表流體作功中,必須供給流體流動之功,如流體流進渦輪機作功,若不提供此功則流體無法流動,故此流動功無法使用,必須從淨功中踢除流動功flowwok任何通過控制容積表面流體作之功為WflowwokFnomalstess故流進控制容積之淨流動功為WndnetflowwokWh-?代入雷諾轉換方程式otototCStCedCSendQnetWnetseflCCSnd81199CseflnetnetCSCWQdnedetCseflnetnetCSCWQdnghdetCseflnetnetototCWQmghmghdet其中h稱為焓enthal,可視為流動流體之內能此為能量守衡定理seflnetQnetWSIO/tf///sJCothewokseflandheatoflowatenettotalsJCtheenegofateStoagesJenegofInflowatesJenegofateOtflow120應用能量守衡定理於管路穩定流,ot[hothg]QotnetmWnetsefl或[othothg]qotnetwnetsefl例:求下圖渦輪機所作之功kj/kg0121解:[othothgot]qnetwnetseflwnetseflwhh797kj/kgotot797kj/kgotkjkgmJ[]sNmkgmJ[]000Nskj當穩定不可壓縮流體無作功時,應用能量守衡於任一流線上:其中ototgotqotnetglossotqnet代表因熱傳溫度改變磨擦力黏滯力等所損失之能量kj/kg,若損失為零,則能量方程式與白弩力方程式相等例:求下圖風扇之效率風扇馬達之功率為0.4kw122解:losswghhseflnetototot][gglosswseflnetkgmNsNmkgsmlosswseflnet/7]/[/seflnetseflnetwwlossη1233mWwseflnetseflnetmkgmNsmmmkgskwmNkwDWwseflnetseflnet/95.8/4]/0.6[/.3]/[/3ππ75.%η124第六章流體微分分析法diffeentialanalsis前章節中討論之有限控制容積法,在實際應用上非常實用,因其不需控制容積內各點之詳細速度壓力溫度等分佈,其結果是,提供一流體對外界之整體影響,其守衡方程式亦以積分形式出現但其缺點為缺乏流體細部之訊息,如下圖之速度分佈無法以有限控制容積法求得:若欲求得流場中細部之速度壓力溫度等訊息,必須將有限控制容積縮小成無窮小fitesimal之控制容積,又此方法之守衡方程式會以微分方程式表示,故此方法稱為微分分析法6.流體元素運動學flidelementkematics流體在運動時,流體任一元素可能會有下列變化:移動tanslation線性變形leadefomation即變41255大或變小旋轉otation及角度變形angladefomation等移動:流體各點速度相等,無任何速度梯度速度梯度:速度梯度分為兩種.nomaldeiaties:w,,.cossdeiaties:ww,,,,,一般而言,nomaldeiaties造成流體元素線性變形變126大或變小,cossdeiaties造成流體元素旋轉或角度變形線性變形若流體在方向有速度梯度0,則經過時間δt後此流體元素體積變大量為Changeδδδδδt則單位時間單位體積體積增加率為δtdδlim[]dtt0δtδδ若流體在方向亦有速度梯度0,0,則dδδdtww6127此稱為體積擴大率olmeticdilationate對不可壓縮流體而言,體積擴大率永遠為零Wh?流體旋轉考慮兩度空間,在時間δt間,O線旋轉之角速度為ωOδαlimδt0δt當角度很小,tanδαδα/δδtδδt故ωO/δtlim[δt0δt注意:當>0,ωO為反時針方向旋轉同理,在時間δt間,OB線旋轉之角速度為71288ttOBδδβωδ0lim當角度很小,ttδδδδδβδβ/tan故tttOBδδωδ/lim[0注意:當0>,OBω為順時針方向旋轉故在-平面上以軸為旋轉軸,此流體元素之淨反時針旋轉角速度為ωWh/?當OBOωω時,此流體元素只作旋轉而無角速度變形同樣,在-平面上以軸為旋轉軸wω在-平面上以軸為旋轉軸wω故三度空間流體元素之旋轉角速度為kjiωωωω129此項可以速度之捲曲度cl表示之:ωcli定義旋轉度oticit,ξjξω注意:旋轉度是向量若旋轉度為零,ξ0,稱為非旋轉流場iotationalflow非旋轉流場之重要性在於複雜的流場可大大簡化,可以利用白弩力方程式於流場中任意兩點不必受限於同一流線,流場亦可以速度位能elocitotential表示,此容後再敘kw例:兩度空間流場4ij,此流場是否為非旋轉流場?解:4,,w0ωw0ωw09130ω故為非旋轉流場兩度空間流場為非旋轉,只要下列條件吻合:ω0o,此代表O及OB有相同但反向之速度,故流體之淨旋轉度為零流體角度變形流場的速度梯度cossdeiaties除了會產生流體旋轉外,亦會造成流體角度變形,即流體元素之形狀改變O及OB原來成直角,因速度梯度造成之總角度改變為δγδαδβ其中δγ為正值代表直角角度變小角度改變率為若無任何之形狀改變δtδtδγγlimlim[]δt0δtδt0δt,角度改變率為零,代表流體元素純粹作旋轉而6.質量守衡利用前章有限控制容積法,將質量守衡定律運用於流體中任301313一無窮小之控制容積實為空間中一點,如下圖所示:運用質量守衡於此無窮小控制容積:0CSCdtnd0SIO其中][][,,,,,,,,,,,,ddwddddddwddddndIOdddotototCS利用泰勒展開Taloseansion:dd,,,,dd,,,,dwwwd,,,,1323dddwIO][dddtdtdtSCC故質量守衡以微分表示為:0][dddwdddt0wt或表示為0t注意:.稱為發散量diegence,必須與向量運算,而結果為純量,例如scalaawkwjikji.稱為梯度gadient,必須與純量運算,而結果為向量,例如133ijkijkaecto若流場為穩態流體為不可壓縮,則w0此稱為連續方程式contiteqation例:兩度空間穩態不可壓縮流場,?解:0constdffifjWh?微分質量守衡方程式亦可以積分質量守衡方程式以發散定理diegencetheoem求得:nd0dtCSC發散定理:ectondectod0CSC33134故ndd0CSCCCdd0tC[]d0t0t圓柱極座標cldicalolacoodates當流場位於圓管內時,用圓柱極座標較容易表示,θ,,teθeθeθ連續方程式:0θ34135例:管路流體到達完全成形區flldeeloedegion,有無徑向-diection之速度分量?θ解:0θsmmeticθ0C,C但速度在0必須為有限,0無徑向速度分量fll-deeloedC,0問:流體在管路入口附近entanceegion,有無徑向之速度分量?流線函數steamfnction穩態兩度空間不可壓縮流體之流場必須滿足連續方程式:0此方程式之意義為:及均滿足下列方程式,ψ,ψ35136ψψ因[]0恆可滿足連續方程式ψ稱為流線函數steamfnction,可由d或積分而得使用流線函數有兩優點:d.流場之二未知數,及,變為只有一個未知數ψ,.流線函數等於一常數之線即為流線ψ,aconst.isasteamle在流線上任一點切線之斜率為donasteamled若此流線可以一流線函數ψ代表,則在此流線上從,點移動至d,d點,ψ之變動量為ψψdψdddd0此代表在此流線上,ψ,C,流線函數為一常數,故若流線函數為已知,則將不同值之各流線函數劃出,就可看36137之流場流動之形狀在實用上,流線函數之值並不重要,流線函數之間函數值的變化才重要因流體無法流穿流線,故任兩條流線之間流體之體積流量olmeflowate為一常數,如下圖所示,在兩流線流線函數分別為ψdψ及ψ之間,流經C線及流經BC線之流量相等,ψψdqdddddψ故任兩流線其流線函數為ψ及ψ,其間流過之流量為qψψ位於上面之流線ψ若大於下面之流線ψ,則q>0流動向右;反之,則q<0流動向左例:ij,0.3s,劃出流線函數37138解:ψψconstψdff其中f可由方程式求得:ψdf,fCd其中常數為任意,可取為零故通過原點之流線函數為零,3m/sψ0.3注意單位m問:可否解釋上圖曲線?曲線間之流量為何?3813939在極座標中,穩態兩度空間不可壓縮流體之流場必須滿足連續方程式:0θθ流線函數ψ,θ可表示為下列方程式,ψθψθ,在圓柱座標中,穩態不可壓縮流體,唯有軸承對稱流場aismmetic可以用流線函數表示之eeeθθθ,,,0θθ連續方程式為0140可寫成0Wh?流線函數ψ,可表示為下列方程式,ψ,ψ在任兩條流線間實則兩同軸圓筒面,流體之流量為qπψWhπ?ψ6.3動量守衡利用前章有限控制容積法,將質量守衡定律運用於流體中任一無窮小之控制容積實為空間中一點:dndtCCSdotottC在方向之方程式為:此即tCdototmCSototototndototOISmtCdtCFFcontentsoftheCdFcontentsoftheCcontentsoftheC40141其中OI項可由下圖瞭解:注意:其中m及wm可視為垂直於方向流進控制容積之流體,所帶的方向之動量,如下圖所示:41424故[]{}[]{}[]{}dddwwdddddwwddddddddddIO][dddtS][sfacebodCtheofcontentsFFF,,,dddgFbod,iscosessesfaceFFF,,,其中壓力與黏滯力可結合成一剪應力張量:ijτττττττττσσσσσσσσσσ其中ττττττ,,Wh?如下圖所示:14343[]{}[]{}[]{}dddddddddddddddddddddFsface][][,τττσσσσσσσσσσσσ14444將SIO各項結合,?][][Whwtwtwtwt方向的動量方程式即成:gwtτττ同理,方向的動量方程式即成:gwtτττ方向的動量方程式即成:gwwwwtwτττ此為動量守衡方程式,或以向量表示:ijgtDtDτ][6.4非黏滯流體流場iscidflow動量方程式中之黏滯力項ijτ造成此方程式非常複雜難解,故當流體為非黏滯流體或黏滯力很小時,可將此黏滯力項消去問:何種情況下,可假設為非黏滯流體?14545在此情況下,動量守衡方程式變為:gwtgwtgwwwwtw或gt][此稱為Eleseqation歐拉方程式此方程式為非線性偏微分方程式,依然非常困難求解,但可以化簡法得到一些之重要結果,如白弩力方程式白弩力方程式穩定狀態下,g沿著流場內任一流線,其中146ggkg0i0jkgijkg[]g或gWhatis?將此方程式沿此流線取內積neodct:ds其中ds0亦垂直於ds又dsdidjdkdsgdsds因一定垂直於,故dsdddd故Eleseqation變成:沿此流線積分:ddgd0steamleddgdconstant對非黏滯不可壓縮流體此稱為理想流體idealflids,此式即為白弩力方程式:46147gconstant再強調白弩力方程式之適用範圍:.穩態流場.不可壓縮流體3.非黏滯流體4.沿任一流線上當流場為非旋轉流場iotational時,有兩項重要結果:.白弩力方程式可應用於流場中任兩點可不跼限於同一流線上.流場可以一類似流線函數之速度位能elocitotential單一變數表示之,而不須用三個速度分量表示此兩點敘述如下:當流場為非旋轉流場時,dsξds0dsandiection此代表無論ds之方向為何,此內積永遠為零,故antwootssaceddgdconstant4714848故在非旋轉流場中,任意兩點可以應用白弩力方程式如下:gg速度位能elocitotential函數對非旋轉流場而言,速度梯度有下列關係:00,0,ww故可定義一函數,以滿足上式,wφφφ,,例如:0φφ永遠滿足此函數φ稱為速度位能elocitotential,或表示為φ故在非旋轉流場中,速度可表示為一純量之梯度速度位能與流線函數有兩點不同:.速度位能是由非旋轉性質得來,而流線函數是由連續方程式質量守衡得來14949.速度位能可適用於三度空間流場,而流線函數只能適用於兩度空間流場速度位能與流線函數有一點非常類似:在非旋轉流場中,速度亦須滿足連續方程式,故0φφ其中scalascala稱為拉普拉氏運算子Lalacianoeato,故速度位能必定是下列拉普拉氏方程式之解:0φφφ此類流場非黏滯不可壓縮非旋轉稱為位能流otentialflow而在兩度空間的非旋轉流體中,速度梯度必須滿足利用流線函數:ψψ或0ψψ150此為兩度空間之拉普拉氏方程式,故流線函數必定亦是拉普拉氏方程式但為兩度空間之解在兩度平面上,等流線函數流線函數為一常數曲線,與等速度位能速度位能為一常數曲線,互有垂直關係,此可由下解釋之:在等流線函數曲線上,ddalongψconst同理,在等速度位能曲線上,由一點,移動至另一點d,d,其速度位能改變量dφ為零,φφdφdddd0故ddalongφconst這代表等流線函數曲線之斜率,與等速度位能曲線之斜率,相乘等於-,故此二曲線互相垂直,故在圖解流場分析中,知道等流線函數曲線就可畫出等速度位能曲線,反之亦然50151同樣在圓柱座標中,速度與速度位能之關係φ可表示為φ,φθθ,φ而圓柱座標的拉普拉氏方程式為φφθφ0例:水流經下圖直角,其流線方程式為ψsθm/s求出速度位能若點之壓力為30kpa,則點之壓力為何?解:此題可以直角座標解之:ψsθ4sθcosθ4Wh?5152故ψψ4,4測試是否為非旋轉流場:000,故速度位能存在:iotationalφ,φφdfconst或φdfconst比較兩式,φC令通過0,0之速度位能為0,故φ此式亦可以極座標表示:φ此題亦可以極座標解之:cosθsθcosθψ4cosθ,θψ4sθθφφ又,θθ故φdcosθfθθconst或φθdθcosθfconst比較兩式,φcosθC5153令通過0,0之速度位能為0,故φcosθ此式亦可以直角座標表示:φcosθcosθsθ此流場為非旋轉流場,故任意兩點可用白弩力方程式:gg故又θ4cosθ4sθ6此處可否用直角座標得到同樣答案?故kg/m64m/s30kpa36kpa000kg.m/s/kn/m又當角度非直角時,流線函數與速度位能可通式化為ψπ/αsπθα53154φπ/αcosπθα6.5黏滯流體流場iscosflow在不可壓縮牛頓流體中,剪應力與流體之變形成正比關係:nomalstesses:τττµµwµsheastesses:ττττττµµwwµ在圓柱座標中可表示為5415555nomalstesses:µτθµτµτθθθsheastesses:][µττθµττθµττθθθθθθ將剪應力代入動量守衡方程式,即得三方向之力的平衡:方向:gwtµ方向:gwtµ方向:wwwgwwwwtwµ此三式稱為那福亞-史多客Naie-Stokes方程式,連接一個質量方程式,此四個方程式可完整解出四個未知數-15656w及,然而因此些方程式為非線性偏微分方程式,故除少數特別流場幾何可用解析法外,大部分問題須用計算流體力學CFD方式求解那福亞-史多客方程式在圓柱座標之表示為:方向:[gtθθµθθθθθ方向:[gtθθθθθθθθθθθθθµθ方向:[gtθµθθ若流體在管路內流動,則圓柱座標較直角座標方便有用兩平行平板間之穩定不可壓縮黏滯流體流場:如下圖所示,157此問題之分析法,第一步要能化簡問題,假設如下:.穩態.不可壓縮3.兩度空間那一度沒有?4.流體在完全成形區0Wh?5.流場為水平ijwk43,,,t15858方向:gwtµ方向:gwtµg方向:wwwgwwwwtwµ故動量方程式可簡化為:0µg00代表壓力在方法無變化方程式可積分為,fg故在方向垂直方向壓力的變化與靜壓相同方程式可積分為159ddµddCµ其中µCC代表壓力梯度,為一常數負值,Wh?兩未知數可用兩邊界條件求出:此題座標原點為何要置於中心線?B.C#-h,0B.C#h,0此稱為什麼條件?C0hµ,C故速度分佈為一拋物線:µ兩板之間之流量為hhqdµhh3h3µhhd平板上任意兩點之間之壓力降essedo與壓力梯59160度之關係為:leftight故h3q3µ平均速度為aeqhh3µ中心最大速度為hµma3ae注意:圓管中maae壓力分佈:,gfdf,fd,go其中o為0,0點之壓力,故流場中,在垂直方向壓力分佈與靜壓相同,而在水平方向流體流動方向壓力分佈為線性以上分析僅適用於層流lamaflow,即雷諾數Renoldsnmbe低於~400雷諾數定義為oaehReµetiaiscosfoceoffoceofflidflid當雷諾數大於~400時,流場變為紊流tblent60161flow,流體之黏滯力,尤其在邊界附近,會變成很大,速度分佈亦會改變,管路中心大部分區域流體速度分佈較層流為平滑,而靠近邊界處流體速度變化很大,故最大速度與平均速度之比值較層流為小枯衛流場Coetteflow平行的兩板若有移動流體有邊界速度,稱為枯衛流場假設前例之上平板向右以U之速度移動,兩板之間流場之速度亦為動量方程式之解,與前例相同Wh?:µCC兩未知數可用兩邊界條件求出:此題座標原點為何要置於下平板而非中心?61626B.C#0,0B.C#b,故bbUµ或非因次化dimensionlessUbPbbPbbbUbbUµµ故速度分佈與參數P有關,參數P代表壓力降的大小,當P0時代表純粹枯衛流場,且bU例:下圖之轉帶從油箱中因黏滯附著力而帶動一向上之流量,求此流量與轉帶速度薄膜厚度之關係16363解:此問題之分析法,第一步要能化簡問題,假設如下:.穩態.不可壓縮3.兩度空間那一度沒有?4.流體在完全成形區0Wh?5.流場為垂直wkji43,,,t43方向:gwtµ方向:gwtµg43方向:164wwwwwwwwgµtw05w0故動量方程式可簡化為:00代表壓力在方法無變化d0gµd0代表壓力在方法無變化代表在薄膜內任何之位置的壓力均相同,等同於薄膜外界之壓力大氣壓,然外界之大氣壓與高度方向無關,故薄膜內壓力亦與高度無關0將方向之動量方程式積分:d0gµdddgµddgµC此時雖未完全解出,但可立即運用一邊界條件:薄膜與外界空氣之交界處無拖曳力,故ddBC#:h,τ0µ64165Cghµ再積分gghCµµBC#:0,0Cogghµµo流量hgqdµ0oh03ghh3µghµod問:轉帶欲拖曳任何油料之最小速度為何?穩定層流在圓管之流場哈根-波蘇拉流場Hagen-Poiseilleflow管路流體因壓力降而產生流動稱為哈根-波蘇拉流場,6516666此問題之分析法,第一步要能化簡問題,假設如下:.穩態.不可壓縮3.兩度空間那一度沒有?4.流體在完全成形區0Wh?5.流場為水平eeeθθ43,,,tθ34那福亞-史多客方程式在圓柱座標之表示為:方向:θ0[gtθθµθθθθ-gsθθ016767θ方向:θ0[gtθθθθθθθθθθθθθµθ-gcosθθ0方向:[gtθµθθgθs0θθgcos0][0µ前兩式可分別積分,結果均為:s,,fgfgθθ故壓力分佈在垂直方向方向與靜壓相同,而在水平方向方向為,16868f故壓力梯度與或θ無關,此項一般可視為常數Z方向動量方程式可積分為µCµln4CCµBC#:0,fiteBC#:R,04,0RCCµ4Rµ管路中之總流量為RdQRµππ或以壓力降表示µπ84RQ此稱為波蘇拉定理Poiseilleslaw169平均速度為aeQRπr8µ中心最大速度為RRma4µ4µaemaR3ma注意:兩平板中ae以上分析僅適用於層流lamaflow,即雷諾數Renoldsnmbe低於~00當雷諾數大於~00時,流場變為紊流69 Similardocuments 流體力學講義 流體力學講義王曉剛義守大學機械與自動化工程系中華民國一一年九月目錄:0.流體力學回顧4.流體力學簡介..7-因次dimensions與單位nits.7-黏滯力iscosit.8-枯魏Coette流場及波蘇拉Poiseille流場..4-黏滯係數之測量..7-剪應力場stessfield..8-流體力學分析方法...流體靜力學Flid Moreinformation untitled 12.1ΔPrnnrΔVΔSΔFrVsrflimΔV0rΔFρδvm/s222ΔPrnnrΔVΔSΔFrVsrnlimΔS0rΔPΔSnPa3limΔS0rΔPΔSBΔSΔPrs42rf1ρδδδ6δnδOδB1δδ21δδ2A531 Moreinformation 01.dvi 物理資優營微積分教材1y=f()(,f())點的切線斜率:=limf(+)f()若f()=n,n為自然數=lim(+)nn微分的基本性質:(i)線性:若a,b是常數(ii)萊布尼茲律:nn1+O()=nn1{af()+bg()}=a+bg{f()g()}=g+f Moreinformation MicrosoftWord-流體力學講義2009 流體力學講義王曉剛義守大學機械與自動化工程系目錄:0.流體力學回顧4.流體力學簡介..7-因次dimensions與單位nits.7-黏滯力iscosit.8-枯魏Coette流場及波蘇拉Poiseille流場..5-黏滯係數之測量..8-剪應力場stessfield..9-流體力學分析方法..3.流體靜力學FlidStatics.4 Moreinformation 00=10=01==11=00=1 00=10=01=011=11=00=1:={0,1}:3(,,)=+(,,)=++(,)=+(,,,)=(+)(+)+(+)(+)+=+==++=+=(+)+=+(+)()=()(+)=++=(+)(+)+==+0 Moreinformation 第一章绪论 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!##!%&()%##+,%#.%(#/)%01+)%2333456#7%08+%8+9)9#%:;+%5!+)+)#.++?>/,, Moreinformation MicrosoftPowerPoint曲線之切線、曲率及紐率.ppt 4-5曲線之切線曲率及紐率.1.曲線切向量切線曲率zrry曲線L的切線方程式xρλr+λr其中λ為切線的參數Lρλr+λrρλ+λρλρλ切線的參數式方程式xx+λx Moreinformation -24-cr5-1535ph6.5-8.5()450mg/l0.3mg/l0.1mg/l1.0mg/l1.0mg/l()0.002mg/l0.3mg/l250mg/l250mg/l1000mg/l1.0mg/l0.05mg/l0.05mg/l0.01mg/l0.001mg/l0.01mg/l()0.05mg/l Moreinformation !Ν!ΝΝ&]#Α.7Α)Σ),,Σ87)Ψ)+Ε1)ΕΤ74,87 !!#&()+,.)/01,2)3,45.6787+51!!#:;<=><Α;Γ;ΗΑ;??ΦΙ6ΕΒΕΒΓΓ>!%4Τ&Β(Β)5&!ΑΥΥ2Η7%!Φ!Β!7:79Λ9:?:9ΛΛ7Φ!:>9:7Δ2Η:7ΛΔ:=ς:Ν7ΛΔ=Ν:Ν7ΛΔ:=Λς:9Λ7Λ!Λ !%&(),./&01&21//%&3045(6()(&789:!;4/7=:>:8>>?:!01&78Α:!4Β(&Β((5)6Χ8Δ>87:?!<24&Ε;0Φ&%&301&78Α?!Γ),Η%6Β%3ΙΒϑΙ Moreinformation )ΜΧ<>ΔΧ<><>/7ϑΝ<8)%2):>?/ΓΙ)==?ΓΑΙΡ;2<7Σ6)>Ι=Η?Α)/=ΒΧΒΔΕΒΕ/ΧΦΓΧΗΙ===/===Β(?Φ??Γ?)Μ Moreinformation 89?8=9<: moreinformation>5ΛΛΧΔ5Β.ΔΙ>Ε!!Χϑ:ΧΕϑ!ϑΒΒΒϑΧΒ!ΒΧ5ϑΛϑ%93?&55ΑΑ1ΒΧΔΕΑΦ7Γ9Η8ΔΙ>Δ/ϑΚΑΧΕϑΛϑ22ΛϑΔΧΔΙ>5ΛΛΧΔ5Β.ΔΙ>Ε!!Χϑ:ΧΕϑ! 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