111年大學學測-數學A詳解 - 朱式幸福

111年大學學測-數學A詳解. 111學年度學科能力測驗試題-數學A考科. 一、單選題（占30 分）. 解答：$$C^n_2 \gt 100 \Rightarrow {n(n-1)\over 2} \gt ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2022年1月22日星期六 111年大學學測-數學A詳解 111學年度學科能力測驗試題-數學A考科一、單選題（占30分） 解答：$$C^n_2\gt100\Rightarrow {n(n-1)\over2} \gt100\Rightarrown^2-n-200\gt0\\\Rightarrown\gt{1+\sqrt{801}\over2}\Rightarrown\ge15(28\lt\sqrt{801}\lt29)\\當n=15時，至少提供C^{15}_1+C^{15}_2=15+{15\times14\over2}=120種選法，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$ 解答：$${9\over4}\log_ab=\log_ba={\log_aa\over\log_ab}\Rightarrow(\log_ab)^2={4\over9}\Rightarrow\log_ab={2\over3}\Rightarrowa^{2/3}=b\Rightarrowa^2=b^3，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$ 解答：$$黑點分佈情形趨近直線y=2x(藍色直線)，\\因此將黑點投影到與y=2x垂直的紅色直線y=-x/2時，\\黑點會集中投影到原點，此時變異數最小，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$ 解答：$$\loga_1,\loga_3,\loga_6成等差\Rightarrow\loga_1+\loga_6=2\loga_3\Rightarrow\log(a_1a_6)=\loga_3^2\\\Rightarrow a_1a_6=a_3^2\Rightarrowa_1(a_1+5d)=(a_1+2d)^2\Rightarrowa_1^2+5a_1d=a_1^2+4a_1d+4d^2\\\Rightarrow a_1d-4d^2=0\Rightarrowd(a_1-4d)=0\Rightarrowa_1=4d\\\Rightarrow\loga_1,\loga_3,\loga_6的公差=\loga_3-\loga_1=\log{a_3\overa_1}=\log{6d\over4d}=\log{3\over2}，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$ 解答：$$P={染病且採檢為陰\over染病且採檢為陰+未染病且採檢為陰}={ 30\%\times20\%\over  30\%\times20\%+70\%\times60\%}  \\\RightarrowP'={染病且採檢3次皆為陰\over染病且採檢3次皆為陰+未染病且採檢3次皆為陰}={ 30\%\times(20\%)^3\over  30\%\times(20\%)^3+70\%\times(60\%)^3}\\\Rightarrow{P\overP'}={ 30\%\times20\%\over  30\%\times20\%+70\%\times60\%}\times{30\%\times(20\%)^3+70\%\times(60\%)^3\over30\%\times(20\%)^3}=8，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$ 解答：$$三直線所圍三角形為正三角形\RightarrowL_1與L_2的角平分線與L垂直\\\Rightarrow直線L斜率為-{9\over11}\RightarrowL:y=-{9\over11}(x-2)+{1\over3}\Rightarrow27x+33y=65，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$二、多選題（占30分） 解答：$$(1)\times:n=0滿足原式，但不滿足|5n-7n|\ge21\\(2)\bigcirc:|5n-21|\ge7|n|\Rightarrow{7|n|\over|5n-21|}\le1\Rightarrow-1\le{7n\over5n-21}\le1\\(3)\times:n=0滿足原式，但不滿足7n\le5n-21\\(4)\bigcirc:|5n-21|\ge7|n|\Rightarrow(|5n-21|)^2\ge(7|n|)^2\\(5)\times:|5n-21|\ge7|n|\Rightarrow(5n-21)^2\ge49n^2\Rightarrow24n^2+210n-441\le0\\\qquad\Rightarrow3(4n-7)(2n+21)\le0 \Rightarrow-{21\over2}\len\le{7\over4}\\\qquad\Rightarrown=-10,-9,\dots,0,1，共12個\\，故選\bbox[red,2pt]{(2,4)}$$ 解答：$$(1)\bigcirc:\cases{A(0,2)\\B(1,0)\\C(4,1)}\Rightarrow\cases{\overline{AB}=\sqrt5\\\overline{BC}=\sqrt{10}\\\overline{AC}=\sqrt{17}}\Rightarrow\overline{AC}最長\\(2)\times:\overline{BC}\gt\overline{AB}\Rightarrow\sinA\gt\sinC\\(3)\times:\cases{\overline{AB}^2=5\\\overline{BC}^2=10\\\overline{AC}^2=17}\Rightarrow\overline{AC}^2\gt\overline{AB}^2+\overline{BC}^2\Rightarrow\angleB為鈍角\Rightarrow\triangleABC為鈍角三角形\\(4)\bigcirc:\cosB={\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-\overline{AC}^2\over2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}}={-2\over10\sqrt2}=-{\sqrt2\over10}\Rightarrow\sinB={7\sqrt2\over10}\\(5)\times:{\overline{AC}\over\sinB}=2R\RightarrowR={1\over2}\times{\sqrt{17}\over7\sqrt2/10}={5\over14}\sqrt{34}\gt{5\over14}\times{28\over5}=2\RightarrowR\gt2\\\qquad註:{28\over5}=5.6\Rightarrow5.6^2=31.36\lt34\Rightarrow\sqrt{34}\gt{28\over5}\\，故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}$$ 解答：$$為節省版面，令\vecu=\overrightarrow{AB},\vecv=\overrightarrow{AC},\vecp=\overrightarrow{AP},\vecq=\overrightarrow{AQ},\vecr=\overrightarrow{AR}；\\(1)\times:若\cases{a=0.4\\b=0.05}，則0\lta+b\lt1\Rightarrow\overrightarrow{AR}=0.4\cdot\overrightarrow{AB}+0\cdot\overrightarrow{AC}\RightarrowR\in\overline{AB}，R不在內部\\(2)\times:\cases{|\overrightarrow{AP}|^2=|a\vecu+b\vecv|^2=a^2|\vecu|^2+b^2|\vecv|^2+2ab\vecu\cdot\vecv\\|\overrightarrow{AQ}|^2=|b\vecu+a\vecv|^2=b^2|\vecu|^2+a^2|\vecv|^2+2ab\vecu\cdot\vecv}\Rightarrow|\overrightarrow{AP}|^2-|\overrightarrow{AQ}|^2=(|\vecu|^2-|\vecv|^2)(a^2-b^2)\\\qquad由題意知:a\neb，除非\overline{AB}=\overline{AC}，否則|\overrightarrow{AP}|\ne|\overrightarrow{AQ}|\\(3)\bigcirc:\triangleABP={1\over2}\sqrt{\mathcal{P}}={1\over2}\sqrt{|\vecu|^2|\vecp|^2-(\vecu\cdot\vecp)^2}\Rightarrow\mathcal{P}=|\vecu|^2|a\vecu+b\vecv|^2-(\vecu\cdot(a\vecu+b\vecv))^2\\\qquad=|\vecu|^2(a^2|\vecu|^2+b^2|\vecv|^2+2ab(\vecu\cdot\vecv))-(a|\vecu|^2+b(\vecu\cdot\vecv))^2\\\qquad=(a^2|\vecu|^4+b^2|\vecu|^2|\vecv|^2+2ab|\vecu|^2(\vecu\cdot\vecv))-(a^2|\vecu|^4+b^2(\vecu\cdot\vecv)^2+2ab|\vecu|^2(\vecu\cdot\vecv))\\\qquad=b^2(|\vecu|^2|\vecv|^2-(\vecu\cdot\vecv)^2)\\\qquad同理,\triangleACQ面積={1\over2}\sqrt{\mathcal{Q}}={1\over2}\sqrt{|\vecv|^2|\vecq|^2-(\vecv\cdot\vecq)^2}\Rightarrow\mathcal{Q}=|\vecv|^2|b\vecu+a\vecv|^2-(\vecv\cdot(b\vecu+a\vecv))^2\\\qquad=b^2(|\vecu|^2|\vecv|^2-(\vecu\cdot\vecv)^2)\\\qquad\Rightarrow \mathcal{P}=\mathcal{Q}，即\triangleABP=\triangleACQ\\(4)\bigcirc:\cases{\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AQ}=(-a\vecu-b\vecv)+(a\vecv+b\vecu)= (a-b)(-\vecu+\vecv)\\\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-u+v}\\\qquad\Rightarrow\overrightarrow{PQ}\parallel\overrightarrow{BC}\Rightarrow\text{dist}(P,\overline{BC})=\text{dist}(Q,\overline{BC})\Rightarrow\triangleBCP面積=\triangleBCQ面積\\(5)\times:由(3)知:\triangleABP={1\over2}\sqrt{b^2(|\vecu|^2||\vecv|^2-(\vecu\cdot\vecv)^2}\Rightarrow\triangleABR={1\over2}\sqrt{(b-0.05)^2(|\vecu|^2||\vecv|^2-(\vecu\cdot\vecv)^2}\\\qquad若b=0.0001\Rightarrowb^2\lt(b-0.05)^2，此時\triangleABP\lt\triangleABR(本題無限制R在\triangleABC內)\\故選\bbox[red,2pt]{(3,4)}$$ 解答：$$(1)\bigcirc:g(x)=f(-x)-3=-ax^3+bx^2-cx+3-3=-ax^3+bx^2-cx\\\qquad\Rightarrow(0,0)在y=g(x)圖形上；又(1,0)為y=g(x)的對稱中心\Rightarrow(2,0)也在y=g(x)圖形上\\\qquad\Rightarrowg(0)=g(1)=g(2)=0\Rightarrowg(x)=0有三相異實根0,1,2\\(2)\bigcirc:由(1)知:g(x)=kx(x-1)(x-2)\Rightarrowg(-1)=-6k\lt0\Rightarrowk\gt0\Rightarrow-a\gt0\Rightarrowa\lt0\\(3)\times:y=g(x)的對稱中心坐標為({b\over3a},g({b\over3a}))=(1,0)\Rightarrow{b\over3a}=1\\\qquad\Rightarrowy=f(x)的對稱中心坐標為(-{b\over3a},f(-{b\over3a}))=(-1,f(-1))，\\\qquad又f(-x)=g(x)+3\Rightarrowf(-1)=g(1)+3=0+3=3\Rightarrowy=f(x)的對稱中心坐標為(-1,3)\\(4)\times:g(x)=kx(x-1)(x-2)\Rightarrowf(x)=k(-x)(-x-1)(-x-2)+3=-kx(x+1)(x+2)+3\\\qquad\Rightarrowf(100)=-k\cdot100\cdot101\cdot102+3\Rightarrow只要0\ltk