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構造面的位態更可以它的法向量的方位角及傾沒角表示。

在此定義法向量的指向為向下。

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3 參考球與構造面參考球與構造面下半球、構造面與極點 4 構造面與線的幾何描述構造面的位態是以走向(strike)及傾斜(dip)描述。

構造線的方向則以方位角(bearingorazimuth)及傾沒角(plunge)定義。

構造面的位態也可以傾向(dipdirection)及傾斜(dip)代表。

構造面的位態更可以它的法向量的方位角及傾沒角表示。

在此定義法向量的指向為向下。

5 下半球投影方法等角度投影等面積投影 6 利用投影網做投影 7 單位向量表示法已知一條通過球心方位角α及傾沒角β的線時，線與下球面的交點在笛卡爾座標系統上的座標為：代表此點的單位向量為：代表此點的單位向量為：任何一平面的法線(normal)僅有一個方向，故一平面亦可由其法線的方向表示之。

如果該面的傾向及傾角分別αd及βd，則該面的法線方位角及傾沒角分別為：，代表該面的單位向量為： 8 兩個面的交線求算解析解時，可利用單位向量的叉積(crossproduct)求解交線向量Iab如下： 9 兩條線的擬合面及其夾角利用兩條線皆與擬合面法線正交的特性，可以向量叉積求取解析解如下：式中為擬合面的法線向量，及分別代表A線及B線的單位向量。

為求一致性，須事先安排叉積的順序，使指向為向下。

擬合面的單位法向量則為：解析法可利用向量點積(dotproduct)求解如：式中，為兩條線的交角，及分別代表A線及B線的單位向量。

10 兩個面的夾角兩個面所夾面角等於兩個面法線夾角的補角，其圖解法如上圖，亦可利用夾角公式求得夾角θ如下：式中，及分別代表A面及B面的單位法向量。

11 線與面的夾角一條線與一個面的夾角等於該線與該面法線夾角的餘角，解析解如下：式中，θ為線與面的交角，為線的單位向量，為面的單位法向量。

12 水平軸旋轉球面上任意點P繞若任意水平軸O旋轉後，其投影位置由p'移至P''點。

一方向性資料為單位向量，繞方位角為α的水平軸旋轉θ角後變為：式中，Ry及Rz為轉軸矩陣：， 13 傾斜軸旋轉前式相當於一轉軸運算矩陣，表示如下：繞任意軸(α,β)旋轉時，轉軸運算矩陣R(α,β,θ)可由下式表示：前式相當於一轉軸運算矩陣，表示如下：繞任意軸(α,β)旋轉時，轉軸運算矩陣R(α,β,θ)可由下式表示：式中，轉軸矩陣Rx為： 14 任意軸旋轉繞任意軸(α,β)旋轉時，轉軸運算矩陣R(α,β,θ)可由下式表示：式中，轉軸矩陣Rx,Ry及Rz為：向量經旋轉後變為，其運算式如下： 15 小圓 16 小圓與小圓的交點球面上任意兩個不同的小圓，至多有兩個交點。

求取兩個小圓的交點時，可利用投影網將兩個小圓繪於同一投影面上，並直接在投影網上量測交點的方位角及傾沒角。

若須求得解析解，則可利用向量點積列出下列兩式：式中，，及分別為交點向量、A圓中心點向量及B圓中心點向量的方向餘弦，θa及θb分別為A圓及B圓的半角。

兩式聯立可解得：，，，，，，. 17 小圓與大圓的交點若相交的兩個圓中有一為大圓，則下列兩式中，有一式等於零，即或等於零。

若相交的兩個圓中有一為大圓，則下列兩式中，有一式等於零，即或等於零。

式中，，及分別為交點向量、A圓中心點向量及B圓中心點向量的方向餘弦，θa及θb分別為A圓及B圓的半角。

解析過程同前。

若相交的兩個圓皆為大圓時，則前兩式皆為零。

在此種情況下，可再予簡化，並可解得：，，.此與向量叉積的結果相當。

18 地質構造分析 19 裂理系分析使用適當方法將各組節理分離後，亦可利用單位向量運算求解各組節理的平均位態如下：節理面的單位法向量。

假定此等方向性資料的分布為三度空間常態分配(circularnormaldistribution)，其標準差角θ可以下式表示：為各個節理面的單位法向量，而即為向量和，代表全部節理面法線的平均方向，其單位向量 20 褶皺軸分析褶皺構造各部位的層面位態基本上具有共軸的特性，即任何兩處不同位態的層面其交線均平行於褶皺軸。

由此項特性，理論上同一褶皺構造內所有層面的大圓投影應交於一點，而該點即為褶皺軸方向。

實際上因資料誤差或斷層擾動，所有大圓不全部交於一點；n個層面可能具有n(n-1)/2個交點。

我們可利用前節所說明的極點密度統計方法求得全部五點的集中眼來代表褶皺軸。

21 褶皺軸分析褶皺構造上各個層面的法線具有共平面特性的方法；該共平面與褶皺軸正交。

解析可利用最小平方法極小化函數F1：求得平均單位向量，即為褶皺軸的最佳解。

褶皺軸的95%信賴區間(confidentinterval)Ф95可表示如下：其中，為各個層面的單位法向量。

22 層面校正解析解如下：式中，及分別為層面校正前後的資料向量，α及β分別為褶皺軸的方位角及傾沒角，而θ則為第一次旋轉後的層面傾角，可由原層面位態經旋轉後求得。

23 由三孔求層面位態解析法可分三次分別求得其中兩個小圓的交點，共六點。

理論上，六點中應有三點座標相同。

實際上，三點略有偏差，可求得平均值代表層面法線的最佳方位。

我們亦可利用最小平方法極小化函數F2：求得平均單位向量，此亦為層面法線的最佳解。

其中，為代表鑽孔方向的單位向量，θi是各鑽孔的θ角。

24 由一參考面推求另一面的位態以層面為參考面推球節理面單位法向量可由下式表示：以層面為參考面推球節理面單位法向量可由下式表示：式中，及分別為鑽孔軸線及Q點與H點擬合面法線的方位角與傾沒角。

25 決定灌漿孔及排水孔的最佳方向翡翠壩基地質弱面、灌漿孔及排水孔一覽地質弱面弱面極點正北方位最佳鑽孔方向與弱面夾角灌漿孔方向與弱面夾角排水孔方向與弱面夾角A節理278/3439°20°B節理018/3438°41°31°C節理335/5652°40°45°層面336/4042°50°49° 26 岩坡岩楔鑑定當岩楔的滑動線落入不穩定區時即屬可能滑動岩楔。

解析法可經由試算下列兩式決定：其中，為滑動線向量，為開挖面法線向量，(0，0，-1)。

若上兩式皆為真，即屬可能的滑動岩楔。

27 隧道頂拱岩楔鑑定隧道側壁的岩楔鑑定與岩坡者相似。

隧道頂拱的岩楔鑑定，主要針對無摩擦的自由墜落岩楔。

理論上，任何三個或三個以上的不同位態弱面組合，皆可能形成墜落岩楔。

28 平面滑動之圖解法安定分析摩擦錐觀念摩擦錐指一組與滑動面法線呈一定夾角的作用力方向所形成的圓錐。

當其與滑動面的摩擦角Ф合用時，即可用於以圖解法分析岩楔的安定性，此稱為摩擦錐觀念(frictionconeconcept)(Talobre,1957)。

當摩擦錐的半角θ小於Ф時，岩楔安定；θ大於Ф時，岩楔不安定；θ恰等於Ф時．岩楔位於臨界狀態，即安全係數F=1。

亦可根據下式推算不同角的安全係數F：上圖滑動體在無外力作用下，其合力在重力方向，即在上圖的圓心，而落在F=1.2的摩擦錐上，表示此滑動體的安全係數為1.2。

若有外力時，須先求得合力向量，再查得合力向量所坐落的摩擦錐應屬的安全係數。

當F=1.2時，將F與Ф代入右式，即可求得F=1.2的摩擦錐半角θ。

同理可求得其他安全係數下的摩擦錐半角。

29 楔形滑動之圖解法安定分析安全係數的等值線會落在大圓上(John,1968)。

分別繪出兩個弱面極點上的摩擦錐後，以大圓連接兩個摩擦錐在極點與兩面交線I12擬合大圓之交點，即為某一安全係數的等值線。

上圖的重力線落在F=1.0，故在無外力作用下，此岩楔的安全係數是1.0。

30 岩楔安定分析-幾何AB 31 岩楔安定分析-力系 32 岩楔安定分析在靜力平衡下，岩楔力系必須滿足下列三條件：分析岩楔安定性時，兩正向力Na及Nb無法由靜力學求得解答。

目前多假設岩楔為一剛體，而將弱面上之剪力Ta及Tb忽略不計，再求解Na及Nb後進行分析，稱為剛塊法(rigidblockmethod)。

忽略弱面上之剪力可簡化為：假設弱面A之面積為Aa，凝聚力為Ca，內摩擦角為Фa，而弱面B分別為Ab、Cb及Фb，則A、B兩面之剪阻力Sa及Sb分別為：若僅考慮自重之狀況(即θ=0，φ’=φ)，則上兩式又可簡化為：岩楔之安全係數Fs為弱面之剪阻力對岩楔下滑力之比值，即：，。

33 岩楔安定分析若考慮岩楔兩側弱面上剪力T’a及T’b存在，則其剪應力之最大值，當不超過弱面本身之剪力強度，故從保守之觀點可以假定弱面上之剪應力等於其本身之剪力強度，而得：，加上前述兩式：四式聯立可得：其中，岩楔之安全係數Fs： 34 Thanksforyourattention!謝謝 35 某一岩楔A面位態N50°E/50°E，B面位態N30°W/30°W，請以單位向量法計算兩面交線的方位角(bearing)與傾沒角(plunge)。

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