94年大學學測-數學詳解 - 朱式幸福

94年大學學測-數學詳解. 大學入學考試中心九十四學年度學科能力測驗試題. 第一部分： 選擇題. 壹、 單選題. 解答：$$43659= 3^4\times 7^2\times 11 ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2022年7月19日星期二 94年大學學測-數學詳解 大學入學考試中心九十四學年度學科能力測驗試題第一部分：選擇題 壹、單選題  解答：$$43659=3^4\times7^2\times11\Rightarrow共三個質因數，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$ 解答：$$11^3+12^3+\cdots+20^3=(1^2+2^3+\cdots+20^3)-(1^2+2^3+\cdots+10^3)\\=\left({20\cdot21\over2}\right)^2-\left({10\cdot11\over2}\right)^2=210^2-55^2=41075，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$ 解答：$$\cases{R={1\overC^{42}_6}\\r={1\overC^{39}_5}}\Rightarrow{r\overR}={C^{42}_6\overC^{39}_5}={42!\over6!36!}\cdot{5!34!\over39!}={82\over9}\approx9，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$ 解答：$$\cases{\log_7a=11\\\log_7b=13}\Rightarrow\cases{a=7^{11}\\b=7^{13}}\Rightarrow\log_7(a+b)=\log_7(7^{11}+7^{13})=\log_77^{11}(1+7^2)\\=\log_77^{11}+\log_750=11+\log_750\approx11+\log_749=11+2=13，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$ 解答：$$假設\cases{原始成績X\\週整後成績Y}\RightarrowY=10\sqrt{X}\Rightarrow\cases{E(Y)=E(10\sqrtX)=65\\\sigma(Y)=\sigma(10\sqrtX)=15}\Rightarrow\cases{E(\sqrtX)=6.5\\\sigma(\sqrtX)=1.5}\\\RightarrowVar(\sqrtX)=E((\sqrtX)^2)-(E(\sqrtX))^2\Rightarrow1.5^2=E(X)-6.5^2\RightarrowE(X)=1.5^2+6.5^2=44.5\\，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$貳、多選題 解答：$$\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}落在陰影區\Rightarrow\alpha+\beta\ge1\\(1)\bigcirc:1+2\ge1\\(2)\bigcirc:{3\over4}+{1\over3}={13\over12}\ge1\\(3)\times:{3\over4}-{1\over3}\lt1\\(4)\times:{3\over4}+{1\over5}={19\over20}\lt1\\(5)\times:{3\over4}-{1\over5}\lt1\\，故選\bbox[red,2pt]{(12)}$$ 解答： $$(1)\times:\cases{a^2=2^2-b^2\\(5-a)^2=4^2-b^2}\Rightarrow5-a\gta\Rightarrow\cases{m_{CD}=(5-a)/b\\m_{AB}=a/b}\Rightarrowm_{CD}\gtm_{AB}\\(2)\bigcirc:\cases{m_{AD}=-a/b\\m_{BC}=-(5-a)/b}\Rightarrowm_{BC}最小\\(3)\bigcirc:\cases{m_{BC}=-(5-a)/b\\m_{CD}=(5-a)/b}\Rightarrowm_{BC}=-m_{CD}\\(4)\times:\cases{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2=2^2+4^2=20\\\overline{AC}^2=5^2=25}\Rightarrow \overline{AB}^2+\overline{BC}^2\ne\overline{AC}^2\Rightarrow\angleABC\ne90^\circ\\(5)\bigcirc:m_{CD}+m_{DA}={5-a\overb}-{a\overb}={5-2a\overb}\gt0(5-a\gta\Rightarrow5-2a\gt0)\\，故選\bbox[red,2pt]{(235)}$$ 解答：$$\cases{A(-1,2,0)\\B(3,0,2)}\RightarrowL=\overleftrightarrow{AB}:{x+1\over4}={y-2\over-2}={z\over2}\\(1)\times:(2,2,2)\not\inL\\(2)\bigcirc:(1,1,1)\inL\\(3)\times:(4,-2,2)\not\inL\\(4)\times:(-2,4,0)\not\inL\\(5)\times:(-5,-4,-2)\not\inL\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$ 解答： $$假設直角三角形，兩股長分別為a及b，斜邊長為c，如上圖;\\(1)\bigcirc:\theta\lt45^\circ\Rightarrowa\ltb\Rightarrow{b\overc}\gt{a\overb}，即\cos\theta\gt\sin\theta\\(2)\times:c\gtb\Rightarrow{a\overc}\lt{a\overb}\Rightarrow\sin\theta\lt\tan\theta\\(3)\times:若\cases{a=3\\b=4\\c=5}\Rightarrow\cases{\tan\theta=3/4\\\cos\theta=4/5}\Rightarrow\cos\theta\not\lt\tan\theta\\(4)\times:若\theta=30^\circ\Rightarrow\cases{\cos2\theta=1/2\\\sin2\theta=\sqrt3/2}\Rightarrow\sin2\theta\not\lt\cos2\theta\\(5)\bigcirc:\tan\theta={2\tan\theta/2\over1-\tan^2\theta/2}\Rightarrow{1\over2}\tan\theta-\tan\theta/2={\tan^3\theta/2\over1-\tan^2\theta/2}\gt0\\，故選\bbox[red,2pt]{(15)}$$ 解答： $${x^2\over9}-{y^2\over16}=1\Rightarrow\cases{a=3\\b=4}\Rightarrowc=5\Rightarrow兩焦點\cases{F_1(-5,0)\\F_2(5,0)}\\\cases{\triangleAF_1F_2:\overline{F_1F_2}=\overline{AF_2}=2c=10\Rightarrow\overline{AF_1}-\overline{AF_2}=2a\Rightarrow\overline{AF_1}=6+10=16\\\triangleBF_1F_2:\overline{BF_1}=\overline{F_1F_2}=2c=10\Rightarrow\overline{BF_1}-\overline{BF_2}=2a\Rightarrow\overline{BF_2}=10-6=4}\\\Rightarrow\cases{\triangleAF_1F_2周長=10+10+16=36\\\triangleBF_1F_2周長=10+10+4=24}\\，故選\bbox[red,2pt]{(25)}$$ 解答：$$(1)\times:P\in\overline{AB}\Rightarrow\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{AB}=10\ne14\\(2)\bigcirc:若\cases{\overline{PA}=2\\\overline{PB}=12}\Rightarrow\overline{PA}+\overline{PB}=14，此時P在直線AB上，但不在線段AB上\\(3)\bigcirc:若\cases{\overline{PA}=8\\\overline{PB}=6}\Rightarrow6^2+8^2=10^2，此時P在球面上\\(4)\bigcirc:以A、B為橢圓焦點，長軸長2a=14，短軸長2b\lt20；\\\qquad此時取P為短軸上的頂點，P在球內且符合\overline{PA}+\overline{PB}=14\\(5)\bigcirc:理由同(4)，取短軸長2b=20、長軸長2a\gt20，取P為長軸上的頂點，\\\qquadP在球外且符合\overline{PA}+\overline{PB}=14\\，故選\bbox[red,2pt]{(2345)}$$第二部分：填充題 解答：$$利用長除法:x^5+x^4+x^3+px^2+2x+q=(x^2+x+1)(x^3-x+(p+1))\\\Rightarrow\cases{4=p+1\\q=2(p+1)}\Rightarrowp=\bbox[red,2pt]{3},q=\bbox[red,2pt]{8}$$ 解答：$$P(x,y)\Rightarrow\cases{\trianglePDA:\trianglePBC=1:2=1-y:y\Rightarrowy=2/3\\\trianglePAB:\trianglePCD=2:3=x:1-x\Rightarrowx=2/5}\RightarrowP(\bbox[red,2pt]{2\over5},\bbox[red,2pt]{2\over3})$$ 解答：$$假設向右跳a次、向左跳b次，則\cases{a+b=6\\a-b=4}\Rightarrow\cases{a=5\\b=1};\\5個a,1個b的排列數=\bbox[red,2pt]{6}$$ 解答：$$z=1-i=\sqrt2({1\over\sqrt2}-{1\over\sqrt2}i)=\sqrt2(\cos45^\circ-i\sin45^\circ)\Rightarrowz^{10}=2^5(\cos450^\circ-i\sin450^\circ)=-2^5i\\1+z+z^2+\cdots+z^9=a+bi \Rightarrow(1-z)(1+z+z^2+\cdots+z^9)=1-z^{10}=(a+bi)(1-z)\\\Rightarrowa+bi ={1-z^{10}\over1-z}={1+2^5i\overi}=2^5-i\Rightarrowa=\bbox[red,2pt]{32},b=\bbox[red,2pt]{-1}$$ 解答：$$\cases{A(a,0)\\B(0,b)\\P(2,1)}\Rightarrow\cases{\overrightarrow{PA}=(a-2,-1)\\\overrightarrow{PB}=(-2,b-1)}\Rightarrow\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=-2a-b+5=0\Rightarrow2a+b=5\\算幾不等式:{2a+b\over2}\ge \sqrt{2ab}\Rightarrow{5\over2}\ge\sqrt{2ab}\Rightarrowab\le{25\over8}\Rightarrow\triangleOAB面積={1\over2}ab\le\bbox[red,2pt]{25\over16}$$ 解答：$$假設\overline{AB}=\overline{AD}=a，由於\overline{AD}為\angleBAC的角平分線，因此\cfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\cfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\cfrac{3}{6}\Rightarrow\overline{AC}=2\overline{AB}=2a\\\cases{\cos\angleBAD={a^2+a^2-3^2\over2a^2}\\\cos\angleDAC={a^2+(2a)^2-6^2\over4a^2}}\Rightarrow{a^2+a^2-3^2\over2a^2}={a^2+(2a)^2-6^2\over4a^2}\Rightarrowa^2=18\\\Rightarrow\cos\angleBAD={18+18-9\over2\cdot18}=\bbox[red,2pt]{3\over4}$$ 解答：$$P在\Gamma:y^2=4x上\RightarrowP(t^2/4,t);並假設Q(a,b)，再由{\overline{PF}\over\overline{QF}}={3\over2}\RightarrowF=(2P+3Q)\div5\\\RightarrowQ=(5F-2P)\div3=({5\over3}-{t^2\over6},-{2\over3}t)代入\Gamma\Rightarrow{4\over9}t^2=4({5\over3}-{t^2\over6})\Rightarrowt^2=6\\\RightarrowP的x坐標=t^2/4=\bbox[red,2pt]{3\over2}$$ 解答：$$x\cdot3^x=3^{18}\Rightarrow\log_3(x\cdot3^x)=\log_33^{18}\Rightarrow\log_3x+x=18\\由於\cases{18\lt\log_316+16\lt19\\17\lt\log_315+15\lt18}\Rightarrow15\ltx\lt16\Rightarrowk=\bbox[red,2pt]{15}$$ 解答：$$假設\cases{D(0,0,0)\\C(1,0,0)\\A(0,1,0)\\B(1,1,0)\\E(0,1,1)\\P(a,b,c)} \Rightarrow\cases{\overrightarrow{AP}=(a,b-1,c)\\\overrightarrow{AB}=(1,0,0)\\\overrightarrow{AD}=(0,-1,0)\\\overrightarrow{AE}=(0,0,1)}\Rightarrow{3\over4}\overrightarrow{AB}+{1\over2}\overrightarrow{AD}+{2\over3}\overrightarrow{AE}=({3\over4},-{1\over2},{2\over3})=(a,b-1,c)\\\Rightarrow\cases{a=3/4\\b=1/2\\c=2/3}\RightarrowP(3/4,1/2,2/3)至\overline{AB}(y軸)距離=\sqrt{(1/2)^2+(2/3)^2}=\bbox[red,2pt]{5\over6}$$ =========================END==========================解答僅供參考，其他歷屆試題及詳解 張貼者： C.-H.Chu 於 晚上10:53 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 學測 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (76) 公費留考 (1) 分科測驗 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (19) 身障升四技 (40) 指考 (45) 研討會 (45) 科學班 (8) 海外遊 (30) 特招 (29) 高中數學 (285) 高普考 (130) 高職數學 (189) 國小數學 (2) 國中數學 (107) 國內遊 (54) 基測 (24) 教甄 (118) 教檢 (2) 單車 (39) 統計 (50) 統測 (82) 微分方程 (11) 微積分 (41) 會考 (15) 路跑 (11) 運動績優 (17) 電腦管理 (22) 臺澎金馬 (6) 論文徵稿 (2) 學力鑑定 (43) 學測 (31) 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