平面幾何托勒密定理餘弦公式數學之美畢氏定理 - 中央研究院

本文我們要證明下列五個幾何定理都是等價的：1. 畢氏定理; 2. 畢氏逆定理; 3. 三角形的餘弦定律; 4. 圓內接四邊形的餘弦定律; 5. 托勒密定理。

筆者曾經看過學生這樣論證： 考慮三邊為 3, 4, 5 的三角形, 因為 $5^2=4^2+3^2$, 所以根據畢氏定理知, 此三角形為直角三角形, 並且邊 5 所對應的角為直角。

一般都會說, 這個論證有瑕疵, 因為並不是根據畢氏定理, 而是根據畢氏逆定理才對。

但是, 若畢氏定理與畢氏逆定理等價, 則上述論證在邏輯上並不離譜。