[流力] 第一週筆記- HackMD

流體力學中出現的力：. 主要分成兩種：. body force : 重力、電磁力、E, B等等可以當成集中在質心的力; Surface Force : 靜壓、黏滯力、表面張力 ...        ownedthisnote   Published LinkedwithGitHub Like6 Bookmark Subscribe Edit #[流力]第一週筆記 #概覽 回顧以前學過的力學： *Statics:$\SigmaF=0,\SigmaM=0$ *Dynamics： *Kinematics:$x,v,a$ *kinetics:$\frac{dP}{dt}=F$ *WorkandEnergy
實際上流體力學架構也不出這些： *Statics:第三章 *Dynamics： *Kinematics:第四章 *kinetics:第六章 *WorkandEnergy:第五章 *應用：openflow,internalflow,Navier-Stokes
#流體力學中出現的力： 主要分成兩種： *bodyforce:重力、電磁力、E,B等等可以當成集中在質心的力 *SurfaceForce:靜壓、黏滯力、表面張力 #「流體」的定義 不過講這麼多還是不知道流體是什麼，所以這裡先來定義流體是什麼。

Fluid:施加「剪應力」的時候，會「持續變形」：  *應力(stress)：大致上來說是「單位表面的受力」： $$\sigma=\frac{F}{A}$$ *剪應力：算平行面積單位元$dA$上，單位面積的力 雖然說會形變，但是滑動不一定是快或慢。

#「連續體假設」 理論上來說，一個分子一個分子都是一個質點。

但是因為這樣太複雜，所以就做出一個假設： $$假定流體是「充滿空間的連續體」$$ 因為到處都是連續的，所以這時候就可以把這個流體定義出性質，比如說密度 這個假定成立嗎？當然不一定。

假設今天取一個ControlVolume：  *如果分子大小太大，分子會在box進進出出，密度根本不固定 *如果分子小到一個程度，就算有進出頻繁，密度就會趨近一個平均值。

這時候就可以定義流體的物性。

這個判斷可以用個無因次參數來看： $$Kn=\frac{\lambda}{L}$$ 其中$\lambda$是meanfreepath,$L$是特徵長度。

這個理由是，「如果meanfreepath在box裡面，那就跟分子永遠走不出box有87%像」。

因此： $$若Kn<<1，那麼可以認為「連續體假設」成立$$ 既然你有$dV$，那麼你就有「體積單位元」，所以就可以用它倒一堆微分方程了。

不過，如果要解微分方程還要有++邊界條件++。

所以邊界條件這就來了： #BoundaryCondition 主要有下面這幾種： *No-PenetrationCondirtion:就是「流體不能穿透邊界」。

用專業的術語來看： $$V_{fn}=Vb_{bn}$$ 但是$Vf_{t}$未必等於$Vb_{t}$ *No-slipcondition:就是假定流過邊界是，流體的行為會類似「邊界拖住流體跑」，也就是： $$V_{f}=V_{b}$$ 這個條件是從黏滯力來的。

#ControlVolume 回顧熱力學的「系統」： *closedsystem:沒有「質量」可以進出 *opensystem:質量可以進出。

是在空間選定一個ConttrolVolum當觀測站,觀察CV進出的東西來分析。

流體力學用的主要是ConttrolColume的分析方法。

#1.2一些重要的性質 *理想氣體方程式 $$P=\rhoRT$$ 其中： *$R$=$\frac{Ru}{M}$,$Ru$大約是8.314,$M$是分子量 *$\rho$是密度，常用的數字：水大約是1000,常溫下的空氣搭約是1.125, 有一歇跟比重有關的量大概是： SpecificGravity:比重，定義是： $$SG=\frac{\rho}{\rho_{H_{2}O}}$$ >>汞大概是13.6,空氣是0.001204 SpecificWeight:比重量$\gamma=\rhog$ *$P$是壓力。

有一堆單位： *1$Pa=\frac{N}{m^2}$ *1bar=$10^5Pa=0.1MPa=100kPa$ *1atm=$101325Pa$ *$psi$(poundperinchsquare):1atm=14.224psi 壓力還有AbsolutePressure跟GagePressure: *AbsolutePressure:實際的壓力。

大於等於0 *GagePressure:表壓，跟「大氣壓力」相差的壓力： $$P_{gage}=P_{abs}-P_{atm}$$ 計算時記得把大氣壓加回去。

常用的性質課本後面的表都查的到，所以可以注意一下。

#1.3CommonExternalForces ##1.GravitationalForce 假設有一個體積單位元：  作用在這個體積單位元上的壓力$dF_{g}$為：

$$d\vec{F_{g}}=\rho\vec{g{}}\cdotdV$$

###證明 就是$F=mg$的縮小版： $$d\vec{F_{g}}=(dm)\cdot\vec{g{}}=(\rho\cdotdV)\cdot\vec{g{}}=-\rho(dxdydz)g\hat{k}$$ ##2.Pressure 作用在體積單位元的壓力$d\vec{F_{p}}$為：

$$d\vec{F_{p}}=-\nablaP\cdotdV$$

###證明 這裡有兩個證明方法：

####偷懶的方法：用散度定律 $$\intd\vec{F}_{p}=\int_{S}-P\cdotd\vec{A{}}=-\int_{V}\nablaP\cdotdV$$ 對於流體內任意的形狀都正確，所以 $$d\vec{F_{p}}=-\nablaP\cdotdV$$

####正規的方法 老老實實的把每個面上的力找出來。

首先回顧一下泰勒展開式： $$G(x+dx,y,z)\approxG(x,y,z)+\frac{\partialG}{\partialx}dx$$ 所以： $$G(x+dx,y,z)-G(x,y,z)\approx\frac{\partialG}{\partialx}dx$$ 這裡也是類似的。

如果看x方向，左右壓力的變化： $$dP_{x}=P(x+dx,y,z)-P(x,y,z)\approx\frac{\partialP}{\partialx}dx$$ 因為對於x方向而言，壓力的x分量作用的面積是： $$dydz$$ 所以對於x方向中，左右壓力差就是： $$dF_{x}=dP_{x}\cdotdydz=-\frac{\partialP}{\partialx}dx\cdotdydz\\[0.5cm]$$ 有看到多一個負號是因為：壓力是朝內的，所以差一個負號。

同理，可以把3個方向受到的壓力都找出來： $$dF_{x}=dP_{x}\cdotdydz=-\frac{\partialP}{\partialx}dx\cdotdydz\\[0.5cm] dF_{y}=dP_{y}\cdotdxdz=-\frac{\partialP}{\partialy}dy\cdotdxdz\\[0.5cm] dF_{z}=dP_{z}\cdotdxdy=-\frac{\partialP}{\partialz}dz\cdotdxdy$$ 可以發現最後面都是$dxdydz$，把他們提出來，得到： $$d\vec{F_{p}}=(-\frac{\partialP}{\partialx},-\frac{\partialP}{\partialy},-\frac{\partialP}{\partialz})\cdotdxdydz=-\nablaP\cdotdV$$ 而對「靜力學」來說，因為只有重力，所以： $$d\vec{F_{p}}+d\vec{F_{g}}=-\nablaP\cdotdV-\rho\vec{g{}}\cdotdV=0$$ 也就是： $$\nablaP=-\rhoG$$ 如果故意把重力方向調成$\hat{k}$方向，那麼3個方向分別是： 1.x方向： $$\frac{\partialP}{\partialx}=0$$ 1.y方向： $$\frac{\partialP}{\partialy}=0$$ 由1.2.可以知道 $$P=P(z)$$ 1.z方向： $$\frac{\partialP}{\partialz}=\rhog$$ 這其實就可以推出國中時學過的壓力公式 另外，如果物體不是靜止的，那麼只是在等號右邊多一個加速度項： $$-\nablaP-\rho\vec{g{}}=\rho\vec{a{}}$$ ##3.黏滯力 ###數學模型 假定有兩塊板子，中間夾個流體，假定他們的velocityprofile會是線性的：  回顧材料力學，剪應變是「材料移動的小角度」，也就是上面$d\beta$，而剪應力又跟這個應變有關，所以先求出$d\beta$。

$d\beta$可以用$tan$去近似： $$d\beta\approxtan(d\beta)=\frac{Vdt}{h}$$ 所以 $$\dot{\epsilon}=\frac{d\beta}{dt}=\frac{V}{h}=\frac{du}{dy}$$ 出於一些理由，實際上的應變率會是他的一半： $$\dot{\epsilon}=\frac{1}{2}\frac{du}{dy}$$ 在材料力學的時候有學過虎克定律： $$\sigma=E\cdot\epsilon$$ 也就是「應力與應變有關係」。

事實上，我們可以仿照這個，在流體中找出類似的定律。

不過，因為流體是流體，++受力之後會持續變形++。

所以沒有固定的應變可言，但是有「應變率」。

而我們假定剪應力跟這個「應變率」有關： $$\tau=\tau(\dot{\epsilon})$$ 而這個關係可能有很多種，所以這裡先假定他是最簡單的，也就是「只差一個常數」： $$\tau=\mu\dot{\epsilon}$$ 代入剛剛算出來的$\dot{\epsilon}=\frac{du}{dy}$，可以得到： $$\tau=\mu\frac{du}{dy}$$ 其中$\mu$叫做「dynamicviscosity」。

單位是$Pa\cdots$。

>>有另外一種viscosity叫做kinematicviscosity,定義是： >>$$\nu=\frac{\mu}{\rho}$$ >>單位是$\frac{m^2}{s}$,或是用stoke($\frac{cm^2}{s}$) 正比是最簡單的關係。

不過還有其他種的關係，像是這樣：  *Binham：要超過一定的力，才會流動 *Pseudoplastec(shearthinning)：斜率漸減，表示越來越好拉 *Dilatant(shearthickening)：斜率漸增，表示越來越難拉 ###溫度的影響 注意$\mu=\mu(T)$，溫度不同年ㄒ大致上如下：  1.液體溫度越高，黏性越低：想像一下沙拉油，溫度低的時候會變成一糊，但是加溫過後就變得很好倒。

2.氣體溫度越高越黏：太空梭進入大氣。

3.氣體比液體低：跑步比游泳容易嘛 ###測量Viscosity 像下面這種裝置  這時候： $$\tau=\frac{du}{dy}\approx\mu\frac{\OmegaR}{h}$$ 所以上面的力矩$T$就是： $$T=(\tau2\piRL)=\mu\frac{2\piR^3L\Omega}{h}$$ 這時候，只要測出$T$是多少就可以了。

##表面張力 平行液面的拉力。

如果有一個液體表面，邊界是$S$：  表面張力$\sigma$的定義為： $$dF_{s}=\sigmads$$ 單位是$N/m$，單位邊界長需要的力嘛。

不過如果上下同乘一個$m$： $$\frac{N\cdotm}{m^2}=\frac{作功}{m^2}$$ 所以這也可以看成「增加單位面積所需要做的功」。

這裡簡單看一個例子：一個droplet  $$\int-Pd\vec{A{}}=\int-PdAcos\theta=-P\intdAcos\theta$$ 因為$\intdAcos\theta$其實就是「整個球面作投影」，所以： $$-P\int(dAcos\theta)=-P\cdot\piR^2=2\piR\sigma_{s}$$ 另外一件要注意的是soapbubble：  $$他會有兩層\\他會有兩層\\他會有兩層$$ ###CapillaryEffect 在液體與容器邊界的一種現象，像這樣：  這裡有一些分類： 1.如果$\phi$<90度，叫做「wettingliquid」 2.如果$\phi$>90度，叫做「nonwettingliquid」 水的接觸角是0度。

注意的地方就是算的時候，要把角度也考慮進去。

另外注意到的是，「表面張力把液體往上拉」其實是： 1.表面張力造成介面兩邊壓力不同 2.壓力差把液柱進一步提升 如果只在靜力學的狀況，那直接看成「表面張力把液體往上拉」是可以的;但是如果要計算整個運動過程，就必須注意到這件事。

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