MOD運算 - 中文百科知識

mod運算，即求余運算，是在整數運算中求一個整數x除以另一個整數y的餘數的運算，且不考慮運算的商。

在電腦程式設計中都有MOD運算，它的含義是取得兩個整數相除後結果 ... MOD運算 mod運算，即求余運算，是在整數運算中求一個整數x除以另一個整數y的餘數的運算，且不考慮運算的商。

在電腦程式設計中都有MOD運算，它的含義是取得兩個整數相除後結果的餘數。

如：7mod3=1因為7除以3商2餘1，餘數1即MOD運算後的結果。

模p運算給定一個正整數p，任意一個整數n，一定存在等式n=kp+r其中k、r是整數，且0≤r

=p，則(a+b)modp=(r1+r2)-p否則(a+b)modp=(r1+r2)再和c進行模p和運算，得到結果為r1+r2+r3的算術和除以p的餘數。

對右側進行計算可以得到同樣的結果，得證。

模p相等如果兩個數a、b滿足amodp=bmodp，則稱他們模p相等，記做a≡b(modp)可以證明，此時a、b滿足a=kp+b，其中k是某個整數。

對於模p相等和模p乘法來說，有一個和四則運算中迥然不同的規則。

在四則運算中，如果c是一個非0整數，則ac=bc可以得出a=b但是在模p運算中，這種關係不存在，例如：(3x3)mod9=0(6x3)mod9=0但是3mod9=36mod9=6定理（消去律）：如果gcd(c,p)=1，則ac≡bcmodp可以推出a≡(bmodp)證明：因為ac≡bc(modp)所以ac=bc+kp，也就是c(a-b)=kp因為c和p沒有除1以外的公因子，因此上式要成立必須滿足下面兩個條件中的一個1)c能整除k2)a=b如果2不成立，則c|kp因為c和p沒有公因子，因此顯然c|k，所以k=ck'因此c(a-b)=kp可以表示為c(a-b)=ck'p因此a-b=k'p，得出a≡b(modp)如果a=b，則a≡bmodp顯然成立得證歐拉函式歐拉函式是數論中很重要的一個函式，歐拉函式是指：對於一個正整數n，小於n且和n互質的正整數的個數，記做：φ(n)，其中φ(1)被定義為1，但是並沒有任何實質的意義。

定義小於n且和n互質的數構成的集合為Zn，稱呼這個集合為n的完全餘數集合。

顯然，對於素數p，φ(p)=p-1.對於兩個素數p、q，他們的乘積n=pq滿足φ(n)=(p-1)(q-1)證明：對於質數p,q，滿足φ(n)=(p-1)(q-1)考慮n的完全餘數集Zn={1,2,....,pq-1}而不和n互質的集合由下面三個集合的並構成：1)能夠被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p}總計q-1個2)能夠被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q}總計p-1個3)很顯然，1、2集合中沒有共同的元素，因此Zn中元素個數=pq-(p-1+q-1+1)=(p-1)(q-1)歐拉定理對於互質的整數a和n，有a^φ(n)modn=1證明：首先證明下面這個命題：對於集合Zn={x^1,x^2,...,x^φ(n)}，考慮集合S={ax^1modn,ax^2modn,...,ax^φ(n)modn}則S=Zn1)由於a,n互質，x^i也與n互質，則ax^i也一定於n互質，因此任意x^i,ax^imodn必然是Zn的一個元素2)對於Zn中兩個元素x^i和x^j，如果x^i≠x^j則ax^imodn≠ax^jmodn，這個由a、n互質和消去律可以得出。

所以，很明顯，S=Zn既然這樣，那么（ax^1×ax^2×...×ax^φ(n)）modn=（ax^1modn×ax^2modn×...×ax^φ(n)modn）modn=（x^1×x^2×...×x^φ(n）modn考慮上面等式左邊和右邊左邊等於((a^φ(n)×（x^1×x^2×...×x^φ(n)）)modn右邊等於(x^1×x^2×...×x^φ(n)）modn而(x^1×x^2×...×x^φ(n)）modn和p互質根據消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：a^φ(n)modn=1推論：對於互質的數a、n，滿足a^(φ(n)+1)modn=a費馬定理a是不能被質數p整除的正整數，則有a≡1modp證明這個定理非常簡單，由於φ(p)=p-1，代入歐拉定理即可證明。

同樣有推論：對於不能被質數p整除的正整數a，有a≡amodp進一步套用有關mod的一道證明題不用算數基本定理，證明[a,b](a,b)=|ab|證明：在數論中，證明等式有一種常用的方式，就是證明兩邊互為整除，此題也不例外，只是要先移項。

|ab|/(a,b)=|a|(|b|/(a,b))=>a|(|ab|/(a,b))同理有：b|(|ab|/(a,b))於是，|ab|/(a,b)是a,b的公倍數，即[a,b]|(|ab|/(a,b))∵|a||[a,b]∴(|a|/(a,b))|([a,b]/(a,b))同理：(|b|/(a,b))|([a,b]/(a,b))又∵(|a|/(a,b))與(|b|/(a,b))互質∴（|ab|/(a,b)²）|([a,b]/(a,b))∴(|ab|/(a,b))|[a,b]綜上所述，[a,b](a,b)=|ab|.設m,m′都是正整數，d=(m,mˆ)，b≡bˆ(modd).證明系統x≡b(modm)①x≡bˆ(modmˆ)②的任意兩個解都是模ρ同餘，其中ρ=lcm{m，mˆ}.證明:設y是滿足題設的另外一個解，則有：y≡b(modm)③y≡bˆ(modmˆ)④∵x≡b(modm)，∴x≡b(modm/d),y≡b(modm/d)兩式相減，則有x-y≡b-b≡0≡(modm/d)∴x≡y(modm/d)同理：x≡y(modmˆ/d)∵(m/d,mˆ/d)=1∴x≡y(modmmˆ/d²)設y=x+kmmˆ/d²分別代入③，④中，並結合①，②，則有x+kmmˆ/d²≡b≡x(modm)=>kmmˆ/d²≡0(modm)x+kmmˆ/d²≡bˆ≡x(modmˆ)=>kmmˆ/d²≡0(modmˆ)即：m|kmmˆ/d²=>kmˆ/d²為整數=>(mˆ/d)(k/d)為整數mˆ|kmmˆ/d²=>km/d²為整數=>(m/d)(k/d)為整數顯然，(mˆ/d,d)=1與(m/d,d)=1至少有一個成立，否則(m,mˆ)=d²,矛盾.∴k=ld,y=x+lmmˆ/d,而mmˆ/d=|mmˆ|/(m,mˆ)=[m,mˆ]=ρ=lcm{m，mˆ}∴y=x+lρ=>y≡x(modρ)○相關詞條 MOD[數學運算符號] MOD，是一個數學運算符號。

指求余運算符，例如amodb=c，表明a除以b餘數為c。

“同餘”，數論中的重要概念。

在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。

MOD函式 mod函式是一個求余函式，其格式為：mod(nExp1,nExp2)，即是兩個數值表達式作除法運算後的餘數。

特別注意：在EXCEL中，MOD函式是用於... mod表達式   算法 MOD[MATLAB函式] MOD函式功能：在FreeMat、MATLAB中，該函式用於進行取模（取余）運算。

在matlab的命令視窗中輸入helpmod或者docmod可以獲... 函式簡介   程式示例   遊戲 模運算 “模”是“Mod”的音譯，模運算多套用於程式編寫中。

Mod的含義為求余。

模運算在數論和程式設計中都有著廣泛的套用，從奇偶數的判別到素數的判別，從模冪運... 舉例   概念及性質   基本套用 位運算 2有人會說，計算6and11沒有什麼實際意義啊。

這一系列的文章就將告訴你，位運算到底可以乾什麼，有些什麼經典套用，以及如何用位運算最佳化你的程式。

運算符號   運算說明   優先權   簡單套用   位運算交換 MOD[求余函式] 在Excel表格中的運算，下面正文是對的，但在VB程式中則是錯的，VB中取模運算符MOD用來求餘數，其結果為第一個運算元整除第二個運算元所得的餘數。

例如... 定義   算法   表達式 MOD[Basic語言運算符] MOD是Basic語言運算符。

功能是求兩個數值相除後的餘數。

語法   結果   備註   異常 蒙哥馬利冪模運算 蒙哥馬利(Montgomery)冪模運算是快速計算a^b%k的一種算法，是RSA加密算法的核心之一。

簡介   特點及原理   C++實現 帕斯卡語言 Pascal提高實數運算速度並擴大值域1985Turbo... 一、PASCAL語言的來歷   二、PASCAL語言的發展   三、PASCAL語言的影響 相關搜尋運算電路運算放大器噪聲最佳化手冊運算放大器：理論與設計運算升級卡運算次序運算放大器套用基礎運算定律雲算盤運算放大器熱門詞條FNC戰隊IFRSinvestigaterestaurantskinsTGIFthequizshow不甘示弱反射鏡土壤液化左下腹痛成衣排骨粥星蘋果樂園月霞樂天小熊餅乾洪秀柱男人米蘭貝殼窩青年旅舍陳由豪零股買賣黃君璧黃曆3699小遊戲GraffitiPapatrio中秋禮品傳奇永恆前女友吉祥唐頓莊園第三季富爸爸窮爸爸康橋小學澳笑臉符號紫禁之巔血輪眼辰巳限制級殺手青醬鬆龍祥電影臺windows系統還原形式發票日月光大飯店法務部矯正署纖纖起底超次元遊戲：海王星里肌肉MOD運算@百科知識中文網