同餘- 维基百科，自由的百科全书

同余（英語：Congruence modulo，符號：≡）在数学中是指數論中的一種等價關係。

當两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

同餘是抽象代數中的同餘 ... 同餘 稱為模數的元素倍數的不同兩個元素之間的關係 語言 監視 編輯 同餘（英語：Congruencemodulo[1]，符號：≡）在數學中是指數論中的一種等價關係[2]。

當兩個整數除以同一個正整數，若得相同餘數，則二整數同餘。

同餘是抽象代數中的同餘關係的原型[3]。

最先引用同餘的概念與「≡」符號者為德國數學家高斯。

各式各樣的數 基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}} 正數 R + {\displaystyle\mathbb{R}^{+}} 自然數 N {\displaystyle\mathbb{N}} 正整數 Z + {\displaystyle\mathbb{Z}^{+}} 小數有限小數無限小數循環小數有理數 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 代數數 A {\displaystyle\mathbb{A}} 實數 R {\displaystyle\mathbb{R}} 複數 C {\displaystyle\mathbb{C}} 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle\mathbb{Z}[i]} 負數 R − {\displaystyle\mathbb{R}^{-}} 整數 Z {\displaystyle\mathbb{Z}} 負整數 Z − {\displaystyle\mathbb{Z}^{-}} 分數單位分數二進分數規矩數無理數超越數虛數 I {\displaystyle\mathbb{I}} 二次無理數艾森斯坦整數 Z [ ω ] {\displaystyle\mathbb{Z}[\omega]} 延伸 二元數四元數 H {\displaystyle\mathbb{H}} 八元數 O {\displaystyle\mathbb{O}} 十六元數 S {\displaystyle\mathbb{S}} 超實數 ∗ R {\displaystyle^{*}\mathbb{R}} 大實數上超實數 雙曲複數雙複數複四元數共四元數（英語：Dualquaternion）超複數超數超現實數 其他 質數 P {\displaystyle\mathbb{P}} 可計算數基數阿列夫數同餘整數數列公稱值 規矩數可定義數序數超限數p進數數學常數 圓周率 π = 3.14159265 {\displaystyle\pi=3.14159265} …自然對數的底 e = 2.718281828 {\displaystylee=2.718281828} …虛數單位 i = − 1 {\displaystylei={\sqrt{-{1}}}} 無窮大 ∞ {\displaystyle\infty} 閱論編 目次 1同餘符號 2同餘類 3剩餘系 4性質 4.1整除性 4.2傳遞性 4.3保持基本運算 4.4放大縮小底數 4.5放大縮小模數 4.6除法原理一 4.7除法原理二 5同餘關係式 5.1威爾遜定理 5.2費馬小定理 5.3歐拉定理 5.4卡邁克爾函數 5.5階乘冪 5.6盧卡斯定理 5.7組合數最小周期 6相關概念 6.1模反元素 6.2原根 7同餘方程 7.1線性同餘方程 7.2線性同餘方程組 7.3二次剩餘 7.4高次剩餘 8例子 9應用 10範例 11注釋 12參考文獻 13參見 同餘符號編輯 兩個整數 a {\displaystylea}  ， b {\displaystyleb}  ，若它們除以正整數 m {\displaystylem}  所得的餘數相等，則稱 a {\displaystylea}  ， b {\displaystyleb}  對於模 m {\displaystylem}  同餘 記作 a ≡ b ( mod m ) {\displaystylea\equivb{\pmod{m}}}   讀作 a {\displaystylea}  同餘於 b {\displaystyleb}  模 m {\displaystylem}  ，或讀作 a {\displaystylea}  與 b {\displaystyleb}  關於模 m {\displaystylem}  同餘。

比如 26 ≡ 14 ( mod 12 ) {\displaystyle26\equiv14{\pmod{12}}}  。

同餘於的符號是同餘相等符號≡。

統一碼值為U+2261。

同餘類編輯 如同任何同餘關係，對於模 n {\displaystylen}  同餘是一種等價關係，整數 a {\displaystylea}  的等價類是一個集合 { … , a − 2 n , a − n , a , a + n , a + 2 n , … } {\displaystyle\left\{\ldots,a-2n,a-n,a,a+n,a+2n,\ldots\right\}}  ，標記為 a ¯ n {\displaystyle{\overline{a}}_{n}}  。

由對於模 n {\displaystylen}  同餘的所有整數組成的這個集合稱為同餘類（congruenceclass或residueclass）；假若從上下文知道模 n {\displaystylen}  ，則也可標記為 [ a ] {\displaystyle\displaystyle[a]}  。

同餘類中的每個元素都可以拿來代表該同餘類，稱為該同餘類的代表數（英語：representative）[4]。

剩餘系編輯 剩餘系[5][6]（英語：residuesystem）亦即模 n {\displaystylen}  同餘類的代表數的集合，通常使用的代表數是最小非負整數，因為它是除法中的應當餘數。

要注意的是，對於同一個模數 n {\displaystylen}  ，不同的同餘類不等價，亦即，屬於不同同餘類的整數不同餘於模數 n {\displaystylen}  ，或者說，模 n {\displaystylen}  剩餘系中的任二元素不同餘於模 n {\displaystylen}  ；而且，整數域中的每個整數只屬於模數 n {\displaystylen}  的一個同餘類，因為模 n {\displaystylen}  將整數域劃分為互斥區塊，每個區塊是一個同餘類。

一個完全剩餘系（英語：completeresiduesystem）指的是模 n {\displaystylen}  的全部同餘類的代表數的集合；因為剩餘系中的任二元素不同餘於模 n {\displaystylen}  ，所以它也稱為非同餘餘數的完整系統（英語：completesystemofincongruentresidues）。

例如，模 3 {\displaystyle3}  有三個同餘類 [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] {\displaystyle[0],[1],[2]}  ，其完全剩餘系可以是 { 9 , 12 + 1 , 15 + 2 } {\displaystyle\{9,12+1,15+2\}}  。

如果該集合是由每個同餘類的最小非負整數所組成，亦即 { 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 } {\displaystyle\{0,1,2,...,n-1\}}  ，則稱該集合為模 n {\displaystylen}  的最小剩餘系（英語：leastresiduesystem）。

模 n {\displaystylen}  完全剩餘系中，與模 n {\displaystylen}  互質的代表數所構成的集合，稱為模 n {\displaystylen}  的簡約剩餘系（英語：reducedresiduesystem），其元素個數記為 ϕ ( n ) {\displaystyle\phi(n)}  ，亦即歐拉函數。

例如，模 6 {\displaystyle6}  的簡約剩餘系為 { 1 , 5 } {\displaystyle\{1,5\}}  或 { 7 , 11 } {\displaystyle\{7,11\}}  。

如果模 n {\displaystylen}  是質數，那麼它的最小簡約剩餘系是 { 1 , 2 , . . . , n − 1 } {\displaystyle\{1,2,...,n-1\}}  ，只比最小剩餘系少一個 0 {\displaystyle0}  。

性質編輯 整除性編輯 a ≡ b ( mod m ) ⇒ c ⋅ m = a − b , c ∈ Z {\displaystylea\equivb{\pmod{m}}\Rightarrowc\cdotm=a-b,c\in\mathbb{Z}}  （即是說a和b之差是m的倍數）換句話說， a ≡ b ( mod m ) ⇒ m ∣ ( a − b ) {\displaystylea\equivb{\pmod{m}}\Rightarrowm\mid(a-b)}  [註1] 同餘可以用來檢驗一個數是否可以整除另外一個數，見整除規則。

傳遞性編輯 a ≡ b ( mod m ) b ≡ c ( mod m ) } ⇒ a ≡ c ( mod m ) {\displaystyle\left.{\begin{matrix}a\equivb{\pmod{m}}\\b\equivc{\pmod{m}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrowa\equivc{\pmod{m}}}   保持基本運算編輯 a ≡ b ( mod m ) c ≡ d ( mod m ) } ⇒ { a ± c ≡ b ± d ( mod m ) a c ≡ b d ( mod m ) {\displaystyle\left.{\begin{matrix}a\equivb{\pmod{m}}\\c\equivd{\pmod{m}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow\left\{{\begin{matrix}a\pmc\equivb\pmd{\pmod{m}}\\ac\equivbd{\pmod{m}}\end{matrix}}\right.}   當 c = d {\displaystylec=d}  時，則為等量加法、減法： a ± c ≡ b ± c ( mod m ) {\displaystylea\pmc\equivb\pmc{\pmod{m}}}   這性質更可進一步引申成為這樣： a ≡ b ( mod m ) ⇒ { a n ≡ b n ( mod m ) , ∀ n ∈ Z a n ≡ b n ( mod m ) , ∀ n ∈ N 0 {\displaystylea\equivb{\pmod{m}}\Rightarrow{\begin{cases}an\equivbn{\pmod{m}},\foralln\in\mathbb{Z}\\a^{n}\equivb^{n}{\pmod{m}},\foralln\in\mathbb{N}^{0}\end{cases}}}  [註2] 放大縮小底數編輯 k為整數，n為正整數， ( k m ± a ) n ≡ ( ± a ) n ( mod m ) {\displaystyle(km\pma)^{n}\equiv(\pma)^{n}{\pmod{m}}}   放大縮小模數編輯 k {\displaystylek}  為正整數， a ≡ b ( mod m ) {\displaystylea\equivb{\pmod{m}}}  ，若且唯若 k a ≡ k b ( mod k m ) {\displaystyleka\equivkb{\pmod{km}}}   除法原理一編輯 若 k a ≡ k b ( mod m ) {\displaystyleka\equivkb{\pmod{m}}}  且 k , m {\displaystylek,m}  互質，則 a ≡ b ( mod m ) {\displaystylea\equivb{\pmod{m}}}   除法原理二編輯 每個正整數都可以分解為數個因數的乘積，稱為整數分解。

例如 15 = 3 × 5 {\displaystyle15=3\times5}  ，因數 3 {\displaystyle3}  與 5 {\displaystyle5}  都可以整除 15 {\displaystyle15}  ，記為 3 | 15 {\displaystyle3|15}  與 5 | 15 {\displaystyle5|15}  。

如果 15 {\displaystyle15}  可以整除某正整數 a {\displaystylea}  ，亦即 15 | a {\displaystyle15|a}  ，那麼 15 {\displaystyle15}  就是 a {\displaystylea}  的因數： a = 15 × b {\displaystylea=15\timesb}  ，其中 b {\displaystyleb}  為另一因數。

a = 15 × b = ( 3 × 5 ) × b {\displaystylea=15\timesb=(3\times5)\timesb}  ，因此， 15 {\displaystyle15}  的因數也可以整除 a {\displaystylea}  ： ( 3 | 15 ) ∧ ( 15 | a ) ⇒ 3 | a {\displaystyle(3|15)\wedge(15|a)\Rightarrow3|a}  。

a ≡ b ( mod m ) {\displaystylea\equivb{\pmod{m}}}  等價於 ( a − b ) ≡ 0 ( mod m ) {\displaystyle(a-b)\equiv0{\pmod{m}}}  ，也就是 m | ( a − b ) {\displaystylem|(a-b)}  。

亦即，如果 m | ( a − b ) {\displaystylem|(a-b)}  ，那麼它可以寫成 a ≡ b ( mod m ) {\displaystylea\equivb{\pmod{m}}}  ，因此有以下除法原理： m {\displaystylem}  的因數也可以整除 ( a − b ) {\displaystyle(a-b)}  。

亦即， m {\displaystylem}  是 n {\displaystylen}  的倍數： m = c × n {\displaystylem=c\timesn}  ， n | m {\displaystylen|m}  。

因為 m | ( a − b ) {\displaystylem|(a-b)}  ，所以 n | ( a − b ) ⇒ a ≡ b ( mod n ) {\displaystylen|(a-b)\Rightarrowa\equivb{\pmod{n}}}  。

a ≡ b ( mod c n ) ⇒ a ≡ b ( mod n ) {\displaystylea\equivb{\pmod{cn}}\Rightarrowa\equivb{\pmod{n}}}   a ≡ b ( mod m ) n | m } ⇒ a ≡ b ( mod n ) {\displaystyle\left.{\begin{matrix}a\equivb{\pmod{m}}\\n|m\end{matrix}}\right\}\Rightarrowa\equivb{\pmod{n}}}  [註1]現假設 m {\displaystylem}  可以整除 ( a − b ) {\displaystyle(a-b)}  的倍數 c ( a − b ) {\displaystylec(a-b)}  。

如果 m {\displaystylem}  和 c {\displaystylec}  互質（記為 ( m , c ) = 1 {\displaystyle(m,c)=1}  ），那麼 m {\displaystylem}  必定可以整除 ( a − b ) {\displaystyle(a-b)}  ： m | ( a − b ) ⇒ a ≡ b ( mod m ) {\displaystylem|(a-b)\Rightarrowa\equivb{\pmod{m}}}  。

a c ≡ b c ( mod m ) ( c , m ) = 1 } ⇒ a ≡ b ( mod m ) {\displaystyle\left.{\begin{matrix}ac\equivbc{\pmod{m}}\\(c,m)=1\end{matrix}}\right\}\Rightarrowa\equivb{\pmod{m}}}  [註3]如果 m 1 | ( a − b ) {\displaystylem_{1}|(a-b)}  而且 m 2 | ( a − b ) {\displaystylem_{2}|(a-b)}  ，那麼 m 1 {\displaystylem_{1}}  與 m 2 {\displaystylem_{2}}  的最小公倍數必定可以整除 ( a − b ) {\displaystyle(a-b)}  ，記為 a ≡ b ( mod [ m 1 , m 2 ] ) {\displaystylea\equivb{\pmod{[m_{1},m_{2}]}}}  。

這可以推廣成以下性質： a ≡ b ( mod m 1 ) a ≡ b ( mod m 2 ) ⋮ a ≡ b ( mod m n ) ( n ≥ 2 ) } ⇒ a ≡ b ( mod [ m 1 , m 2 , ⋯ , m n ] ) {\displaystyle\left.{\begin{matrix}a\equivb{\pmod{m_{1}}}\\a\equivb{\pmod{m_{2}}}\\\vdots\\a\equivb{\pmod{m_{n}}}\\(n\geq2)\end{matrix}}\right\}\Rightarrowa\equivb{\pmod{[m_{1},m_{2},\cdots,m_{n}]}}}  [註4]上面的最後一個性質可以使用算術基本定理與集合來解釋。

一個大於1的正整數 q {\displaystyleq}  可以分解為一串質數冪的乘積： q = p 1 c 1 × p 2 c 2 × . . . × p n c n {\displaystyleq=p_{1}^{c_{1}}\timesp_{2}^{c_{2}}\times...\timesp_{n}^{c_{n}}}  （ p i {\displaystylep_{i}}  兩兩相異，且 c i > 0 {\displaystylec_{i}>0}  ），令 S q {\displaystyleS_{q}}  為所有能整除 q {\displaystyleq}  的質數冪的集合，即 S q = { p 1 , p 1 2 , ⋯ , p 1 c 1 , p 2 , p 2 2 , ⋯ , p 2 c 2 , ⋯ , p n , p n 2 , ⋯ , p n c n } {\displaystyleS_{q}=\{p_{1},p_{1}^{2},\cdots,p_{1}^{c_{1}},p_{2},p_{2}^{2},\cdots,p_{2}^{c_{2}},\cdots,p_{n},p_{n}^{2},\cdots,p_{n}^{c_{n}}\}}  。

設 r {\displaystyler}  為正整數，則 r {\displaystyler}  整除 q {\displaystyleq}  ，當且僅當 S r {\displaystyleS_{r}}  是 S q {\displaystyleS_{q}}  的子集。

令 m 1 | q {\displaystylem_{1}|q}  且 m 2 | q {\displaystylem_{2}|q}  ，則 S m 1 {\displaystyleS_{m_{1}}}  與 S m 2 {\displaystyleS_{m_{2}}}  的聯集必定也是 S q {\displaystyleS_{q}}  的子集。

取這個聯集中冪次最高的各個元素，它們的乘積就是 m 1 {\displaystylem_{1}}  與 m 2 {\displaystylem_{2}}  的最小公倍數 [ m 1 , m 2 ] {\displaystyle[m_{1},m_{2}]}  。

事實上，有 S [ m 1 , m 2 ] = S m 1 ∪ S m 2 {\displaystyleS_{[m_{1},m_{2}]}=S_{m_{1}}\cupS_{m_{2}}}  ，所以 [ m 1 , m 2 ] {\displaystyle[m_{1},m_{2}]}  也能夠整除 q {\displaystyleq}  。

同餘關係式編輯 威爾遜定理編輯 主條目：威爾遜定理 ( p − 1 ) !   ≡   − 1   ( mod   p ) {\displaystyle(p-1)!\\equiv\-1\({\mbox{mod}}\p)}   費馬小定理編輯 主條目：費馬小定理 a p ≡ a ( mod p ) {\displaystylea^{p}\equiva{\pmod{p}}}   歐拉定理編輯 主條目：歐拉定理(數論) a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystylea^{\varphi(n)}\equiv1{\pmod{n}}}   卡邁克爾函數編輯 主條目：卡邁克爾函數 a λ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystylea^{\lambda(n)}\equiv1{\pmod{n}}}   階乘冪編輯 主條目：階乘冪 ( x ) k ≡ x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − k + 1 ) ≡ 0 ( mod k ! ) {\displaystyle(x)_{k}\equivx(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)\equiv0{\pmod{k!}}}   盧卡斯定理編輯 主條目：盧卡斯定理 ( m n ) ≡ ∏ i = 0 k ( m i n i ) ( mod p ) , {\displaystyle{\binom{m}{n}}\equiv\prod_{i=0}^{k}{\binom{m_{i}}{n_{i}}}{\pmod{p}},}   組合數最小周期編輯 ( m + p k + [ l o g p n ] n ) ≡ ( m n ) ( mod p k ) {\displaystyle{\binom{m+p^{k+[log_{p}n]}}{n}}\equiv{\binom{m}{n}}{\pmod{p^{k}}}}   設 N = ∏ i p i k i {\displaystyleN=\prod_{i}p_{i}^{k_{i}}}  ，則 ( m + L ( n , N ) n ) ≡ ( m n ) ( mod N ) {\displaystyle{\binom{m+L(n,N)}{n}}\equiv{\binom{m}{n}}{\pmod{N}}}  ，其中 L ( n , N ) = ∏ i p i k i + [ l o g p n ] = N ∏ i p i [ l o g p n ] {\displaystyleL(n,N)=\prod_{i}p_{i}^{k_{i}+[log_{p}n]}=N\prod_{i}p_{i}^{[log_{p}n]}}  [7] 相關概念編輯 模反元素編輯 主條目：模反元素 a − 1 a ˙ ≡ 1 ( mod n ) {\displaystylea^{-1}{\dot{a}}\equiv1{\pmod{n}}}   可用輾轉相除法、歐拉定理、卡邁克爾函數求解。

原根編輯 主條目：原根 存在最小的正整數d使得 a d ≡ 1 ( mod n ) {\displaystylea^{d}\equiv1{\pmod{n}}}  成立，且 d = φ ( n ) {\displaystyled=\varphi(n)}  。

同餘方程編輯 線性同餘方程編輯 主條目：線性同餘方程 a x ≡ b ( mod n ) {\displaystyleax\equivb{\pmod{n}}}   考慮最大公約數，有解時用輾轉相除法等方法求解。

線性同餘方程組編輯 主條目：中國剩餘定理 { a 1 x ≡ b 1 ( mod m 1 ) a 2 x ≡ b 2 ( mod m 2 ) ⋮ a n x ≡ b n ( mod m n ) {\displaystyle{\begin{cases}a_{1}x\equivb_{1}{\pmod{m_{1}}}\\a_{2}x\equivb_{2}{\pmod{m_{2}}}\\\qquad\qquad\vdots\\a_{n}x\equivb_{n}{\pmod{m_{n}}}\\\end{cases}}}   先求解每一個線性同餘方程，再用中國剩餘定理解方程組。

二次剩餘編輯 主條目：二次剩餘 x 2 ≡ d ( mod p ) {\displaystylex^{2}\equivd{\pmod{p}}}   勒讓德符號、雅可比符號、克羅內克符號、二次互反律用於判別d是否為模n的二次剩餘。

高次剩餘編輯 主條目：高次剩餘 x n ≡ d ( mod p ) {\displaystylex^{n}\equivd{\pmod{p}}}   例子編輯 求自然數a的個位數字，就是求a與哪一個數對於模10同餘。

10 ≡ 1 ( mod   3 ) , 10 n ≡ 1 ( mod   3 ) , 10001 ≡ 10 4 + 1 ≡ 1 + 1 ( mod   3 ) {\displaystyle10\equiv1({\textrm{mod}}\3),10^{n}\equiv1({\textrm{mod}}\3),10001\equiv10^{4}+1\equiv1+1({\textrm{mod}}\3)}  。

應用編輯 模數算術在數論、群論、環論、紐結理論、抽象代數、計算機代數、密碼學、計算機科學、化學、視覺和音樂等學科中皆有應用。

它是數論的立基點之一，與其各個面向都相關。

模數算術經常被用於計算標識符中所使用的校驗和，比如國際銀行帳戶號碼（IBANs）就用到了模97的算術，來捕獲用戶在輸入銀行帳戶號碼時的錯誤。

於密碼學中，模數算術是RSA與迪菲－赫爾曼密鑰交換等公鑰系統的基礎，它同時也提供有限域，應用於橢圓加密，且用於許多對稱密鑰加密中，包括高級加密標準、國際資料加密演算法等。

於計算機科學,同餘被應用於位元運算或其他與固定寬度之循環資料結構相關的操作。

於化學中,CAS號（一個對各種化合物皆異之的識別碼）的最後一碼為校驗碼，將CAS號首二部分最後的數字乘上一，下一碼乘上二，下一碼乘上三以此類推，將所有積加起來再取模10。

在音樂領域，模12用於十二平均律系統。

星期的計算中取模7算術極重要。

更廣泛而言，同餘在法律、經濟（見賽局理論）或其他社會科學領域中也有應用。

範例編輯 以下為快速展示小於63位元無號整數之模數乘法的C程式，且轉換過程中不發生溢位。

計算a*b(modm)之演算法: uint64_tmul_mod(uint64_ta,uint64_tb,uint64_tm) { uint64_td=0,mp2=m>>1; inti; if(a>=m)a%=m; if(b>=m)b%=m; for(i=0;i<64;++i) { d=(d>mp2)?(d<<1)-m:d<<1; if(a&0x8000000000000000ULL) d+=b; if(d>m)d-=m; a<<=1; } returnd%m; } 注釋編輯 ^1.01.1 m ∣ x {\displaystylem\midx}  表示m能整除x，或者說x能被m整除。

^但是， a n ≡ b n ( mod m ) {\displaystylea^{n}\equivb^{n}{\pmod{m}}}  不能推論 a ≡ b ( mod m ) {\displaystylea\equivb{\pmod{m}}}  . ^ ( m 1 , m 2 , ⋯ , m n ) {\displaystyle(m_{1},m_{2},\cdots,m_{n})}  表示 m 1 , m 2 , ⋯ , m n {\displaystylem_{1},m_{2},\cdots,m_{n}}  的最大公約數。

^ [ m 1 , m 2 , ⋯ , m n ] {\displaystyle[m_{1},m_{2},\cdots,m_{n}]}  表示 m 1 , m 2 , ⋯ , m n {\displaystylem_{1},m_{2},\cdots,m_{n}}  的最小公倍數。

參考文獻編輯 ^KhanAcademy>CongruenceModulo.[2014-10-21].（原始內容存檔於2020-11-04）.  ^Abstractalgebra,I.H.Sheth,p.57.[2014-10-21].（原始內容存檔於2014-10-21）.  ^e-StudyGuidefor:HandbookofMathematics:Mathematics,Mathematics,p.174.[2014-10-21].（原始內容存檔於2014-10-21）.  ^AComputationalIntroductiontoNumberTheoryandAlgebra,VictorShoup,p.25.[2014-11-05].（原始內容存檔於2014-11-05）.  ^國家教育研究院.完全剩餘系completesystemofresidues.雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網.[2022-05-21].（原始內容存檔於2022-05-21）.  ^張鴻林;葛顯良(編).英汉数学词汇.清華大學出版社.2005:119,617.  ^Chi-JenLu;Shi-ChunTsaiy.ThePeriodicPropertyofBinomialCoefficientsModulomandItsApplications.10thSIAMConferenceonDiscreteMathematics.2000[2018-09-13].（原始內容存檔於2018-09-14）.  參見編輯  數學主題  信息技術主題 合同_(數學) 等價關係 模除 不定方程 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=同餘&oldid=72084537」