離開套路，擁抱未來 數學需要一條越走越寬的學習之路

文|夏駿軼

由於工作的關係，我接觸的孩子比別人要多一些，因此我也能更多的聽到他們吐槽，比如：「數學真難！」「我不喜歡數學！」這對於一名專門給孩子講數學和思維的老師來說，聽到這話無疑是當面打臉。

孩子是天真而直率的，他們真實的表達了他們的感受，我倒是不在意，因為知道他們並不是在說我，但是他們的表達不由得讓我心中嘆息。

這些孩子數學成績都相當不錯，但是他們不喜愛數學，如果是這樣，那原因恐怕就不是我們的孩子不願好好學，而是我們使用的方法有問題，在不知不覺中把他們的興趣給教沒了，也把他們思維發展的空間給教沒了。

這裡有教育者的問題，也有家長的問題。

學校教育長期無法脫離應試掣肘，而大量的課外機構又推波助瀾，比如當下如火如荼的奧數學習。

家長需要的是孩子通過學習在今後的競爭中獲得優勢，學校需要的是有表現優異的學生，所以兩下合謀，指向同一個目標——成績，過去如此，現在依舊如此。

難怪格拉漢姆•布朗-馬丁在《重新想像學習》一書中說：「我們把21世紀的技術扔進教室和學校，但學校本身以及教學方式並沒有改變——我們只是更快、更便宜地獲得19世紀的結果罷了。

」

在這樣的氛圍中，數學學習自然異化為考試，分數、解法、競賽、升學等等的結合體（目前尚有越演越烈之勢），而圍繞這些教育價值觀，又漸漸形成了一種「套路式」的數學教育模式，埋頭在考試、競賽的小圈子裡圍繞著成績打轉，既不著眼學生個體的成長發展，也無力支撐孩子去面對未來的全球性挑戰，這令我深深的擔憂！

生活中，我們常常遇到各種「套路」，也常常感慨「這個套路好深」。

百度君說：「套路」是一種經過精心策劃的，應對某種情況的方式方法，使用該方式方法的人，往往已經對該方法熟練掌握，並且形成條件反射，邏輯上傾向於慣性使用這種應對方法應對複雜的情況，心理上往往已經產生對此方法的依賴性、對人有較深影響，使用某種特定不變的處理事件的方式，對一些情況下的處理方式形成「路數」，是名為套路。

我覺得言之好有理。

不妨讓我們回想一下，在我們自己成長的過程中，是不是常常被教導用各種「套路」來應付學習？我們用「套路」學習知識，用「套路」解題，用「套路」面對一輪輪的考試，進而升級進入高一級的「套路」中。

雖然我們討厭這些強加在我們身上，卻不得不去用的「套路」，但當我們成為家長，我們又不自覺的會期待我們的孩子用最快最直接的方法學到知識，答出題目，並據此認為他們已經完全掌握所學，並洋洋得意。

「套路」大法獲得了歷史性的傳承。

但問題是，當我們的孩子長大成人，面對真實世界，這些「套路」究竟能給他們的生存和發展帶來怎樣的實質幫助？這樣一件真正重要的事，卻常常被我們的父母忽視。

海水褪去，海灘上誰在裸奔？

我這兩年一直致力於孩子的思維教育，數學是思維的一個非常重要的載體。

但是就是這樣一個靠思維吃飯的學科，也愈來愈趨向於「套路化」，或者說，在中國，數學教育一直在「套路」化的路上狂奔，直到這幾年教改之後，慢慢得到人們的重視，並開始進行反思。

所以我覺得有必要來扒一扒「套路數學」是怎麼一回事？

「套路數學」究竟是什麼？

「套路數學」是我發明的一個詞，其實說白了很簡單，「套路數學」就是一種用固定方法解決問題的學習思路，也是容易產生「思維定式」化的數學教育，是以最快最省方法獲得答案為終極目標的。

「套路數學」不限於在學校或者課外機構，也不限於是教育者或者家長，它可能出現於任何的學習環境和人群中，甚至有些時候，孩子還會給自己「設套」。

剛才說到「思維定式」，其實「思維定式」倒不全都是壞事，不光在數學學習中有，在人類社會的各個層面都有思維定式，我們常說的知識和經驗也都可以看作是廣義的「思維定勢」。

但是思維定式是一柄構建思考能力的「雙刃劍」，一方面它保護了人類相對安全，確保人們有效、快速的做出比較正確的決定，另一方面也制約了人類的創造性。

經常讀到文章，說中國孩子沒有創造力，只會做題，能考出高分，卻很難有獨立的想法，這其中就有思維定式在作怪。

那數學學習中的思維定式又是怎麼樣的呢？

數學是在解決人類生活的實際問題中萌發的，因為問題千奇百怪，思維又千變萬化，所以呈現的解決模式多種多樣，又有跡可循，有其規律性。

你要想解決不同問題，就得掌握不同的方法，學會不同的思維模式。

所以在數學的學習過程中會面臨很多經典題型，每種題型背後，蘊藏著的是一種特定的思維模式。

數學既要學習不同情況下，簡化問題，尋找共性，並加以解決的能力，也要學習不同數學規律和思維模式的運轉原理，最終達到提升數學素養，提升數學思維能力的目的。

孩子在啟蒙及小學教育的階段中，數學作為一門基礎性學科，其中蘊含著豐富的數學思想和數學知識，是數學學科之根本，也是思維提升的基礎，但是小學數學內容和知識相對淺顯，數學知識體系又相對緊湊，教學中很容易形成數學思維定勢，孩子的思考、質疑和創造都會消失殆盡。

那數學思維定勢會對孩子的數學學習帶來怎樣的困惑呢？

比如說：乘法有一個特質，我們稱之為乘法交換律，這個交換律的成立是基於乘法的連加本質為基礎的，如果孩子不能理解3×5就是3個5，並且沒有用實物擺放3×5矩陣的經驗，而是單純的記住這種交換律，他就容易形成了一種數學思維定式。

那麼在他進行別的運算內容時，比如除法，12÷3，或者減法32-16時，就會發現交換律是不起作用的，這樣就產生了認知衝突，認知衝突是學習突破的關鍵點，但如果孩子不能通過反思搞明白為什麼會出現這樣的衝突，就有可能讓孩子從認知衝突轉化成認知迷茫。

再說一個定式干擾思維的情況：很多孩子到了三年級都會被要求背誦乘法口訣，在他們背誦5×6的時候，有很大機率錯背成36和56，這是為什麼呢？為什麼孩子絕不會犯2×3=23或3×7=27的錯誤？其實很簡單，36和56在乘法口訣表里都出現過，而23和27從來沒有出現過，由於聯想機制的作用，孩子的腦海中激活了一部分相似的定式，導致了錯誤。

之前網上有一個小女孩死活背不出5×5口訣，也是這種情況

這也是有些教育者不太認同背誦乘法口訣的原因，雖然這的確很好用，但本質上是有礙思維的。

所以思維定式是數學教育中極力要打破的瓶頸，它是一種認知障礙，但卻是一種有價值存在的障礙，它的價值就在於被打破。

而在我們剛才說的「套路數學」的學習模式中，往往會選擇了一條比較「聰明」的方法，繞開了從原理和本質上費勁打破認知衝突的坎坷之路，在這個世界裡，沒有嘗試錯誤，也沒有認知衝突，只有不同「套路」形成的固定化思考「捷徑」，以期達到快速解題的目的。

這裡面應試教育功不可沒，在應試的壓力下，教育者和學習者都更容易直接把目標放在考試、升學或競賽上，不可避免的把數學學習降格為做題的學科。

既然只要更多更好的做題，那學習者成為「套中人」也是順利成章、水到渠成的事情。

潛台詞就是，我不需要知道為什麼，我只要能做出題就達成目標。

如果我吃到了雞蛋，我還為啥要認識母雞，或者去了解她是怎麼生出這隻蛋的呢？合情合理，推理滿分耶！

這就是數學教育中的一些現實情況——只重視能夠帶來成績的「套路」，忽視數學文化和意義感的養成；忽視孩子的思維過程建立和數感培育；以及忽視孩子的生長及大腦認知發展的規律。

我相信有很多人會覺得，雖然素質教育是大勢所趨，但應試教育是現實處境，存改變之心，而心有餘力而不足。

這話看上去對，實則大謬。

這樣觀點如同你去加油站加95號汽油，油站老闆說95號用完了，叫你加點柴油，一樣能開走，你會加嗎？

同樣道理，受教育的對象是孩子，如果教育目標不對，雖然似乎有些眼前利益，但犧牲的是孩子的長期利益，我們就會趨之若鶩嗎？這個需要我們好好思考一下。

我總說，教育是望著孩子未來的工作，沒有一項工作，它的真實成效顯現如此的緩慢，教育的投資就像撒種，起初看不見，之後也只是小苗，但是不經意間，它就長成了大樹。

如果做一個比喻，教育就是一份有著指數式增長的長期債券，讓我們在人生的後期收益豐厚。

但是，如果我們僅僅盯著眼前，或許會去投資一份快速增長的股票，然後隨著時間的推移，邊際效益遞減，直至歸零。

教育的選擇，我們更需要著眼於孩子的成長性，需要找尋一條越走越寬的學習之路，數學也是如此。

「套路數學」的表現

說了那麼多，「套路數學」究竟有哪些具體的表現呢？

「套路數學」表現形式各不相同，有些比較明顯，一眼可以看出來，而有些卻隱藏的比較深，不太容易看出來，我先說一個比較容易看出來的，「套路數學」的基本的表現形式：「授課套路」。

授課套路呈現以下特點：

1、教育者會率先出示一個概念；

比如說：小朋友們，我們今天來認識「三角形」

2、對概念進行講解、剖解、分析和舉例；

比如說：什麼是三角形呢？就是三個角，三條邊！看，這個就是三角形，這個也是三角形……

3、總結概念；

比如說：所以，三角形就是有三個角和三條邊的封閉圖形。

4、要求記住概念

你們記住了嗎？

5、運用學（死）習（記）內（概）容（念）做題，加深記憶；

比如說：那請大家來找一找，下面哪些是三角形啊？

6、結果評價（考試）

比如說：以下省略500字……

我相信，一定會有朋友說，這沒有什麼不對啊，我們以前學習不是一直這樣做的嗎？

沒錯，這個「套路」的確被我們廣為熟悉，但是熟悉，不代表是正確的。

大家有沒有發現，在這個教學過程中，環環相扣，邏輯嚴謹，知識準確，結構緊湊，唯獨缺少了學習者主動「學習」的空間。

我們說教學教學，核心是學，不是教，是為學而教，為引發思考而教。

主觀灌輸，目中無人，成人學習者尚會覺得學之無味，更不要提兒童和孩子。

另外，聰明如你大概也能看出，「套路數學」中有二個核心，一是概念先行，二就是記憶為本。

我不知多少次看到孩子在記憶數字、背誦公式，從我小時候開始，一直到我的孩子上學，好像背誦數學公式是學習數學天經地義的過程。

現在我慢慢明白，數學學習的核心在於思維，用記憶的方式來學習數學，真可謂是緣木求魚。

這並不是說，數學學習不需要記憶，只不過，我們不太知道記憶原來有三個層次，

基礎的感知回憶，形象層面的記憶，以及包含運算思維的記憶（思維記憶）。

當我們長期運用「套路」進行學習，大腦運作會漸漸傾向停留在在第二個記憶層面，也就是卡死在「形象記憶」的層面上，並形成一種有害的思考路徑——關注套路，而不關注真正的問題。

這樣，我們的基礎感知系統被狹窄化，真正的問題被忽略，而「形象記憶」也無法被積極主動的調用（當我們在處理真實問題時，它是被積極調用的），形不成思考，自然也無法提升到思維記憶（記住自己是怎麼思考的）的層面。

在孩子遇到下一個問題時，因為沒有真正思考的經驗，所以無法調取「自主研發」的「思維記憶」來解決問題，也不知道思維是如何被激發，創造性解決問題的關鍵是如何找到的，於是只能繼續去尋找已知的「套路」，陷入一種循環之中。

之前有一篇文章叫《數學為什麼從三年級開始會"梯次掉隊》，其中就講到，數學學習小學三、四年級時，會有一批學生成績突然掉了下來；到了初二、三時，又有一批學生掉隊了；再往後，到了高二時，又有人掉了。

這就是所謂的「梯次掉隊」。

其實就是描述了孩子在早期數學啟蒙及其之後數學概念建構的時候，思維地基沒有打好，用記憶和解題套路來學習，知其然不知其所以然，導致後期學習力下降，無法提升的情況。

那問題來了，如果不用套路，數學教育如何進行呢？

舉一個栗子：

對於孩子而言，他們認知世界一定是從具象到抽象的，這個是認知規律，反過來是不行的。

所以對數學這樣的抽象的知識，必須先給孩子大量的具體感知經驗，然後幫助他們升華和抽象。

手頭找不到平面圖形的資料做對比，拿一個培飛的立體圖形認知模式做說明：

大家請看這張圖，一張長方體、圓柱體和球體的總結認知圖，在實踐授課中，我們會根據這張圖找出相應的實物給孩子觀察、探索，而在課程起初，我們總會先問：「你看到了什麼？」，以啟動他們的感知，發現真實情景，然後引導孩子觀察到不同和相同，並讓他們根據自己所觀察的內容做出總結，幫助他們提升感知和歸納的能力。

而對於低齡的孩子，我們甚至不會輕易說出長方體、圓柱體這樣的名詞，而是試著讓他們自己為圖形起名。

從數學概念的層次深度來說，我們會把概念分三個層次：白描、歸納、抽象，這是成人思維，而從認知心理學的角度來說，人的學習初期一定是從具體現象入手，而直接學習抽象觀念，則要到10歲之後啟動，相對成熟需要到15歲左右。

其實經過這樣一個從具體經驗到抽象經驗的演變過程，孩子在表層信息的建立上獲取了大量的經驗，為他們深入探索認識圖形，打好了堅實的基礎，但他們還沒有真正的掌握立體圖形的實質含義，後續還要從多個側面去認知立體圖形，比如進行能不能疊放，能不能滾動等活動。

這就是一種「套路數學」以外的教學方法，是從思維層面入手，一點一點幫助孩子建立知識體系，當然還有很多其他的方法，但基本上對老師的要求會比較高。

而「套路數學」在認知上往往停留在學科層面，還沒有轉化到心理認知和教育的層面，所以對孩子而言，理解自然會有難度。

大家需要注意的是，有些「套路數學」會在開始給孩子灌輸之前增加一些「情景導入」，或者講一段繪本，一道有趣的例題，美其名曰：「思維數學」，這就更增強了迷惑性，大家一定要注意看清楚。

當然很多時候，我們的確較難看明白一種教學模式的本質，但是，「套路數學」還有一套「絕世神功」，一說大家就會明白，那就是以前被稱為「題海」，現在被稱為「刷題」的「一課一練」模式。

我這樣調侃，其實並不是說數學學習不需要做題，相反，數學學習者必須通過練習來鞏固所學，並反思認知中是否有遺漏或偏差，而且「一課一練」還出口賺外匯了，絕對是好東西！

但是我反對那種不管孩子是否理解，也不管孩子掌握水平如何，「一言不合三百題」的「題海」模式。

很多時候這種模式其實貫徹的是以題代學，以考代思的理念。

「做了多就熟練啦嘛！」是「套路數學」奉行的原則。

「套路數學」不但有著各種不同的固定子套路來確保你能夠準確快速的解題，更有一套非常厲害的檢索系統，幫助你能夠在最短的時間快速讀題，並尋找出相應的解題套路。

就好像奧運會射擊運動員，射擊都不要看靶子，全憑手裡的感覺。

有好幾名射擊冠軍都是高度近視眼，「套路數學」也是如此，他們不需要孩子看懂題目，通過對孩子高強度的訓練，可以達到手中無題，心中有題的境界，只要看到題目的大概模樣，或隻字片語，就能直接知道答案是什麼？

但是，這套方法雖然對考試很有用，但對孩子自身的發展有著非常大的隱藏風險。

史丹福大學數學教育學教授Jo Boaler在她的新書《數學思維定勢》中提到：

「數感是所有更高階段數學的基礎。

越強調死記硬背，孩子就越不願去思考數字和數字間的關係，因而難以發展出數感。

」一項1994年的研究表明，低能力學生從幼年起就開始死記硬背數式得數，由此偏離了方向——他們失去了靈活運用數字的能力。

這意味著，他們越往後學數學，就越是困難，而且可能終生都有數學障礙。

她還說：「看到8+4，我會不假思索得出答案，但我是通過在各種情況下使用它，而不是通過強化練習和考試才記住的。

」

如果我們孩子的練習是建立在套路上，而不是對數學本質真正深入的理解上，那做再多的題，只能強化他們依賴套路，而不能發展他們的主動思考。

做題不是問題，但是同樣一道題，你可以把孩子引向「套路」，或者你把他引向思考或無限探索和創造的可能。

是走向套路，還是一條越走越寬的學習之路，這全都存乎一心！

「套路」的局限

從我個人的觀察來講，套路化的數學教育，越來越難有生存空間，因為這個世界變的越來越複雜，而出現的問題越來越需要我們運用想像力和創造力來解決。

套路式思維的局限在哪？

1 套路並不能窮盡真實世界中的所有情況，事實上，連最小的範圍都填充不滿；

2 在真實世界中不按套路出牌的人比比皆是，或許出題的老師就是其中之一；意外隨處都有；

3 真實問題中沒有那麼多可以應用的套路，而時時需要我們創造解決方案。

我們都有這樣的經驗，明明記住了數學公式記，偏偏不會做題。

明明知道了什麼「比較法」、「枚舉法」、「假設法」、「化歸法」，也背的滾瓜爛熟，卻是不能解決具體的數學問題。

其實很簡單，學生們並不需要什麼「比較法」，而是需要會比較，也不需要什麼「假設法」，而是需要會假設。

對於數學教育本身而言，學會解微積分的難題當然非常重要，但是更重要的是我們需要知道，我們應該在什麼情況下使用微積分的原理，並且解決實際的問題。

公式是死的，人是活的，要靈活運用公式，只有從思維拓展和訓練入手。

數學學習應當在孩子創造力的建設上發揮積極作用。

但很多時候我們都是為了解題而解題，解完題以後說說你學到了什麼？沒有！腦袋空空，只有解題步驟。

我們的孩子在未來會遇到什麼樣的問題？除了純數學的問題以外，我們的孩子將會面對的都是實際的問題：金融，計算機，網際網路，軟體，搞算法等等，我們又如何用套路讓他們去越過這些高崗？或者我們可以認真的思索一個問題——數學思維能力的本質是什麼，而不是下一個套路是什麼。

最近有一位英國的航空工程師老爺爺，發明了一把反向摺疊的傘，解決了人多打傘時打架的人類難題(詳細內容，請關注今天第三條圖文）。

我想，如果我們的孩子從「套路」出發，可能一輩子都不會「想到」發明這樣一把傘，但是如果他們從真實出發，運用感知和智慧，相信一定可以比這些想的更多，想的更遠，世界也一定會因為他們變的更為精彩！

當然，我在這裡說這麼多，並無意批判誰，我只是想說，即便2020年就在眼前，傳統思維下的教育慣性依舊強大，以至於拖拉著我們的孩子，讓他們無法跑步進入新世紀。

在這種情況下，家長更需要擦亮眼睛，不被一些表面的事物所迷惑，學會分辨哪些教育能夠真正幫助我們的孩子，幫助他們面對未來。

當所有人在埋頭凝視升學，我們卻登高眺望未來，當所有人對未來心懷恐懼，我們卻依靠智慧和信心前行，不要說未來太遠，應當心存敬畏，因為未來，必將到來！

作者簡介：

夏駿軼，培飛思維數學教研總監，聯合國GPST國際幼兒教師，創造性戲劇及遊戲教育指導師

畢業於華東政法學院法律系。

專業法律人，2006年家中大寶出生，遂對教育產生興趣，08年轉行進入幼兒教育領域，加入專注為3-10歲的中國兒童提供數學思維發展課程的培飛思維數學，從此一發不可收拾。

目前家中大小倆娃，主要從事兒童思維能力訓練，對兒童大腦發展規律和數學思維培養有著深入的研究和豐富的執教經驗。

熟悉美國NCTM數學體系、瑞吉歐教學法，啟發式教育，致力於運用思維工具、綜合藝術、全腦整合等技術手段拓展兒童認知的寬度與深度，培養和發展兒童的各種思維能力，對兒童教育有著獨特性和前瞻性的見解。