方程的根與函數的零點

基於三維目標的數學教學設計策略

—以「方程的根與函數的零點」為例

盧紅春（甘肅省白銀市實驗中學）

摘要：在高中數學課堂教學中，普遍存在「三維目標」得不到完整體現的問題。

在教學框架、教學活動以及題目的選擇等方面都能以是否有利於教學目標的實現為前提來審視問題，這種現狀就會得到改觀。

關鍵詞：三維目標；教學設計；有效策略

課標倡導「知識與技能」、「過程與方法」、「情感、態度和價值觀」有機結合的三維教學目標，我們通常稱為「三維目標」。

它不僅關注知識本身，而且還要通過知識發生、發展的過程，讓學生掌握蘊含在其中的思想和方法，培養學生實事求是的科學態度、鍥而不捨的探索精神等個性品質，最終使學生獲得全面和諧的發展。

在實踐中，大多數教師也想在自己的課堂上體現「三維目標」。

最近，白銀市舉辦全市優質課比賽，筆者有機會聽課觀摩，從這二十多節課來看，普遍存在的問題如下：「三維目標」在課堂教學中得不到完整的體現，教學思想前後不連貫，甚至互相矛盾。

顯然，教學設計缺乏有效策略的指導。

這一問題在日常教學中更加突出。

因此，如何在課堂教學中恰當地體現「三維目標」的課程理念，仍然是擺在大家面前的一個重要而又迫切的課題。

這次優質課比賽也有甘肅省白銀市實驗中學的教師參加，課題是「函數的零點和方程的根」，由於筆者全程參與了這節課的教學設計，因此，本文就以這節課為例，談談基於三維目標的數學課堂教學設計策略。

一、 以知識發生髮展的過程為線索設計教學路線圖

知識不會憑空產生，也不會孤立存在，尤其數學知識既有產生的背景，又有很強的邏輯性和結構性，所以，在課堂教學中，如果我們能返璞歸真，努力揭示數學知識產生的背景和發展的過程，就能使蘊含在其中的數學思想和方法得到暴露，呈現出數學知識的邏輯結構和自然體系，從而使知識難點得到分解。

這樣，不僅有利於學生理解數學的本質，而且還能使學生的學習變得輕鬆一些。

因此，為了使學生能夠自然地構建自己的知識體系，「在課堂教學中，要以數學地認識問題和解決問題為核心任務，以數學知識的發生髮展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索，為學生構建前後一致邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數學知識的過程中學會思考」 【1】，為教學實現「三維目標」創造有利條件。

「方程的根與函數的零點」的教學路線可以設計如下：具體的一元二次方程的根與其對應的函數圖象之間的關係→一般的一元二次方程的根與其對應的函數圖象之間的關係→一元二次函數的零點→一般函數的零點→函數零點的存在性→函數零點的唯一性。

【設計意圖】 布魯納指出，有效的學習只有在具有結構性的情境下才能夠發生。

他的著名假設「任何學科都可以用理智上忠實的形式教給任何年齡階段的任何兒童」中「理智上忠實的形式」就是指適合於學生認知發展水平的學科基本結構或基本概念或基本原理。

【2】從具體的一元二次方程的根與其對應的函數圖象之間的關係，到一般的一元二次方程的根與其對應的函數圖象之間的關係；從一元二次函數的零點到一般函數的零點，都是在體現從特殊到一般的認知過程。

先研究函數零點的存在性，後研究函數零點的唯一性也是符合思維邏輯順序的，整個路線圖知識結構完整，邏輯關係清晰，符合學生認知規律，適合學生自主構建知識體系。

沿著這條路線圖，學生會有一種一切都在情理之中的感覺，可以很好地感受數學，體驗數學和理解數學。

二、以問題為中心設計教學活動

教學路線圖只是一個知識框架，要想學生最終掌握知識，還需要教師做一些技術性的處理，幫助學生進行有效學習。

建構主義認為，學習不是教師向學生傳遞知識、學生被動吸收的過程，而是學生自己主動建構知識的過程。

因此，在課堂教學中還需要將知識問題化，把框架中的每一個知識點設計成前後連貫的一個問題串，因為有了問題，學生的好奇心和求知慾才能被喚醒和激發，學生的探究活動也才有載體，「教師只有通過設計恰當的問題串，才能把教材中靜態的知識呈現轉化為課堂上動態的建構過程」 【3】，在這一過程中，學生通過提出問題、思考問題和解決問題的活動，獲取知識和技能，掌握數學思想和方法，培養探究精神和合作意識，增強數學能力，提升綜合素養。

學生在學習過程中，總是要利用已有的知識對新知識進行理解，從而使新知識納入到已有的認知結構中，實現同化並形成新的認知結構。

在已經學習過的方程中，學生最熟悉的是一元一次方程和一元二次方程，單從熟悉程度來說，應該選用一元一次方程，但一元二次方程的根的情況更複雜一些，便於向一般方程遷移，所以選用一元二次方程，從探究一元二次方程的根與其對應的一元二次函數的圖象與x軸相交點的橫坐標之間的關係開始，學習「方程的根與函數的零點」，更有利於尋找新舊知識間的聯繫。

三、以學生的實際水平為基礎設計教學活動的形式

當我們制定出知識結構路線圖，並將知識問題化後，就要組織教學活動，由於「教學活動是教師的教和學生的學組成的雙邊活動」（葉瀾）【5】，所以在實際教學中，必須處理好教與學的關係。

「方程的根與函數的零點」按照上述問題設計，筆者在本校不同層次的班級做過試講，在學習程度最好的一個班級，教師給學生的活動時間很多，所有的問題，學生都能通過自己或小組的探索得到解決。

可是，在學習程度較差的一個班級，情況就大不一樣，學生對很多問題的探究都存在問題，就連一個具體的一元二次函數的圖象都不能順利畫出，致使教師不得不做較多的引導或講解。

因此，我們在做教學設計時，一定要準確掌握學生的實際情況，對於學習程度比較好的班級，要給學生提供更多的活動時間，儘量讓學生通過自己或小組的探究解決問題，培養學生自主探索與合作交流的意識和能力；而對於學習程度比較差的班級，教師要多做引導或講解，否則難以完成教學任務。

也就是說，面對一個問題，教師可以大膽放手讓學生自主去解決問題，也可以先做引導，後再讓學生解決問題，還可以直接進行講解等。

在學生水平較好的班級，如果教師講解過多，就等於是放棄了培養學生自主探索、合作交流的機會；而在學生水平較差的班級，如果教師一味讓學生「自主、合作、探究」，其結果只能適得其反。

所以，在實際教學中，究竟採用何種形式去組織教學活動，要以班級學生的整體水平靈活而定，教師不能想當然，也不能受一些條條框框的限定。

四、以適當的教具改善內容的呈現方式

目前，在課堂教學中用來呈現教學內容的工具有黑板，直觀教具和多媒體技術，一般說來，本節課的標題、核心知識結構以及需要強調的東西應該寫在黑板上，因為它可以長久地呈現在學生面前，以加深印象；如果手工製作的教具，能夠反映數學問題的本質，應該儘量採用，因為它往往便於操作，能夠感染學生，使用它可以培養學生的參與意識、合作意識和動手能力。

例如，在學習雙曲線的定義時，利用拉鏈就很能說明問題的本質，效果很好。

對於一些複雜的圖形或需要複雜運算的內容應該製作成多媒體課件，因為它可以使數學可視化，把學生難以想像的圖形或手工計算有困難的數據直觀、生動、快速地呈現出來，幫助學生理解數學知識的本質，提高教學效率。

在「方程的根與函數的零點」教學中，關於問題6中的7個圖象的呈現方式，我們先後嘗試了3中方法。

第一種方法，在一根細繩的兩端安裝上磁鐵，請兩位學生上台，和教師一起演示各種圖形，這種方法雖然強調了學生的動手參與和合作，但對於有斷點的情況，不便操作。

另外，由於用一根繩子變換多種圖形，學生難以記住各種圖形的特徵，不利於觀察、發現，所以這種方法正式講課時沒有採用。

第二種方法，把7個圖形製作成幻燈片，整體呈現給學生，這種方法雖然從表面上看，缺少學生的參與，但學生可以清楚地看到「只要函數在某一區間上是連續的，並且在區間兩端點處的函數值得符號相反，則函數在這個區間上就一定有零點」，所以，我們正式上課時採用了這種方法，也獲得了好的效果。

後來，我們又嘗試利用幾何畫板軟體，把原來靜態的圖片，變成動畫演示，教學效果更好。

五、以有利於實現教學目標為前提設計題目

在數學課堂教學設計中，選擇合適的題目是我們的主要任務之一，正確處理所選題目也是我們需要認真研究的問題。

選擇題目要緊緊圍繞教學目標，沒有必要一味追求高檔次（高考題、競賽題）、高難度、高技巧，關鍵要看能否說明問題，是否有利於教學目標，能說明問題，有利於教學目標的題就是最恰當的題，就是最好的題。

對題目的處理，也沒有必要追求一題多解，關鍵是要掌握與教學目標聯繫最近的方法。

六、以自然和流暢為標準設計教學流程

教學如同寫作一樣，只有做到自然、流暢，才能獲得學生的喜歡，如果教學不流暢，學生就會感到彆扭，學生體驗到的只能是；「數學是神秘的、突然的和強行的」，不僅影響知識的學習，還能使培養學生的情感、態度、價值觀成為一句空話。

所以，在新課程背景下，要求教學做到自然流暢就顯得格外重要。

為了使教學自然流暢，我們在設計教學時一定要養成「打磨」的習慣，也就是要在細節上下功夫，要有精益求精的態度。

在上述問題設計中，問題5是三道求函數零點的題目，由於剛剛學完函數零點的定義，現在求函數的零點，鞏固所學知識當然是很自然的事情，除此之外，由於問題5中，前兩個函數有零點，而第三個函數沒有零點，所以，學生自然就會產生函數在什麼條件下才有零點的想法，接下來研究函數零點的存在性就顯得很自然，這樣問題5就很好地起到了承上啟下的「橋樑」作用，使教學環節的轉換非常自然、流暢。

總之，我們在設計教學時，只有做到在教學框架的確立，具體教學活動的組織以及例題的篩選等各個方面，都能以是否有利於「三維目標」來考慮問題，並在細節的處理上講究協調統一，避免前後不一致，互相矛盾的現象，我們的課堂教學才能準確、完整的體現「三維目標」的新課程理念。

參考文獻：

［1］章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）：5。

［2］陳時見.課堂學習論［M］.桂林：廣西師範大學出版社，2000。

［3］卓斌.例談數學教學中問題串的設計與使用［J］.數學通報，2013（6）：42。

［4］張春興.教育心理學［M］.杭州：浙江教育出版社，1998。

［5］李定仁,徐繼存.教學論研究二十年［M］.北京：人民教育出版社，2001。