正态分布- 维基百科，自由的百科全书

正态分布（香港作常態分佈，台湾作常態分佈，澳门作常態分佈，英語：Normal distribution），又名 ... 常態分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線（类似于 ... 正态分布 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 此條目翻譯品質不佳。

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常態分布 概率密度函數 紅線代表標準常態分布 累積分布函數顏色與機率密度函數同参数 μ {\displaystyle\mu} 数学期望（实数） σ 2 > 0 {\displaystyle\sigma^{2}>0} 方差（实数）值域 x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystylex\in(-\infty;+\infty)\!} 概率密度函数 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle{\frac{1}{\sigma{\sqrt{2\pi}}}}\;\exp\left(-{\frac{\left(x-\mu\right)^{2}}{2\sigma^{2}}}\right)\!} 累積分布函數 1 2 ( 1 + erf ⁡ x − μ σ 2 ) {\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(1+\operatorname{erf}{\frac{x-\mu}{\sigma{\sqrt{2}}}}\right)\!} 期望值 μ {\displaystyle\mu} 中位數 μ {\displaystyle\mu} 眾數 μ {\displaystyle\mu} 方差 σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}} 偏度 0峰度 0熵 ln ⁡ ( σ 2 π e ) {\displaystyle\ln\left(\sigma{\sqrt{2\,\pi\,e}}\right)\!} 矩生成函数 M X ( t ) = exp ⁡ ( μ t + σ 2 t 2 2 ) {\displaystyleM_{X}(t)=\exp\left(\mu\,t+\sigma^{2}{\frac{t^{2}}{2}}\right)} 特徵函数 ϕ X ( t ) = exp ⁡ ( μ i t − σ 2 t 2 2 ) {\displaystyle\phi_{X}(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\right)} 正态分布（香港作常態分佈，台湾作常態分佈，澳门作常態分佈，英語：Normaldistribution），又名高斯分佈（英語：Gaussiandistribution）、正規分佈，是一個非常常見的連續機率分布。

常態分布在统计学上十分重要，經常用在自然和社会科学來代表一個不明的隨機變量。

[1][2] 若隨機變數 X {\displaystyleX} 服從一個位置參數為 μ {\displaystyle\mu} 、尺度參數為 σ {\displaystyle\sigma} 的常態分布，記為： X ∼ N ( μ , σ 2 ) , {\displaystyleX\simN(\mu,\sigma^{2}),} [3] 則其機率密度函數為 f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystylef(x)={\frac{1}{\sigma{\sqrt{2\pi}}}}\;e^{-{\frac{\left(x-\mu\right)^{2}}{2\sigma^{2}}}}\!} [3] 常態分布的數學期望值或期望值 μ {\displaystyle\mu} 等於位置參數，決定了分布的位置；其方差 σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}} 的開平方或標準差 σ {\displaystyle\sigma} 等於尺度參數，決定了分布的幅度。

常態分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線（类似于寺庙里的大钟，因此得名）。

我們通常所說的標準常態分布是位置參數 μ = 0 {\displaystyle\mu=0} ，尺度參數 σ 2 = 1 {\displaystyle\sigma^{2}=1} 的常態分布[3]（見右圖中紅色曲線）。

目录 1概要 1.1歷史 2正态分布的定義 2.1概率密度函數 2.2累積分布函數 2.3生成函數 2.3.1矩母函数 2.3.2特徵函數 3性質 3.1標準化常態隨機變量 3.2動差（moment） 3.3生成常態隨機變量 3.4中央極限定理 3.5無限可分性 3.6穩定性 3.7標準偏差 4相關分布 5估計 5.1參數的極大似然估計 5.1.1概念一般化 5.2參數的矩估計 6常見實例 6.1光子計數 6.2計量誤差 6.2.1飲料裝填量不足與超量的機率 6.3生物標本的物理特性 6.4金融變量 6.5壽命 6.6測試和智力分布 6.6.1計算學生智商高低的機率 7计算统计应用 7.1生成正态分布随机变量 8参考文献 9外部链接 10參見 概要[编辑] 常態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。

各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從常態分布。

儘管這些現象的根本原因經常是未知的，理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變量，那麼這個變量服從常態分布（在R.N.Bracewell的Fouriertransformanditsapplication中可以找到一種簡單的證明）。

常態分布出現在許多區域統計：例如，採樣分布均值是近似地常態的，即使被採樣的樣本的原始群體分布並不服從常態分布。

另外，常態分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大，這使得它作為一種均值以及方差已知的分布的自然選擇。

常態分布是在統計以及許多統計測試中最廣泛應用的一類分布。

在概率論，常態分布是幾種連續以及離散分布的極限分布。

歷史[编辑] 常態分布最早是棣莫弗在1718年著作的書籍的（DoctrineofChange），及1734年發表的一篇關於二項分布文章中提出的，當二項隨機變數的位置參數n很大及形狀參數p為1/2時，則所推導出二項分布的近似分布函數就是常態分布。

拉普拉斯在1812年发表的《分析概率论》（TheorieAnalytiquedesProbabilites）中對棣莫佛的結論作了擴展到二項分布的位置參數為n及形狀參數為1>p>0時。

現在这一结论通常被稱為棣莫佛－拉普拉斯定理。

拉普拉斯在誤差分析試驗中使用了常態分布。

勒讓德於1805年引入最小二乘法這一重要方法；而高斯則宣稱他早在1794年就使用了該方法，並通過假設誤差服從常態分布給出了嚴格的證明。

「鐘形曲線」這個名字可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出這個術語「鐘形曲面」，用來指代二元常態分布。

正态分布這個名字還被查爾斯·皮爾士、法蘭西斯·高爾頓、威爾赫姆·萊克希斯在1875分别獨立地使用。

這個術語是不幸的，因為它反映和鼓勵了一種謬誤，即很多概率分布都是常態的。

（請參考下面的「實例」） 這個分布被稱為「常態」或者「高斯」正好是Stigler名字由來法則的一個例子，這個法則說「沒有科學發現是以它最初的發現者命名的」。

正态分布的定義[编辑] 有幾種不同的方法用來說明一個隨機變量。

最直觀的方法是概率密度函數，這種方法能夠表示隨機變量每個取值有多大的可能性。

累積分布函數是一種概率上更加清楚的方法，請看下邊的例子。

還有一些其他的等價方法，例如cumulant、特徵函數、動差生成函數以及cumulant-生成函數。

這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。

請參考關於概率分布的討論。

概率密度函數[编辑] 四个不同参数集的概率密度函数（紅色线代表标准正态分布） 常態分布的概率密度函數均值為 μ {\displaystyle\mu} 方差為 σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}} (或標準差 σ {\displaystyle\sigma} )是高斯函數的一個實例： f ( x ; μ , σ ) = 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystylef(x;\mu,\sigma)={\frac{1}{\sigma{\sqrt{2\pi}}}}\,\exp\left(-{\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\right)} 。

(請看指數函數以及 π {\displaystyle\pi} .) 如果一個隨機變量 X {\displaystyleX} 服從這個分布，我們寫作 X {\displaystyleX} ~ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyleN(\mu,\sigma^{2})} . 如果 μ = 0 {\displaystyle\mu=0} 並且 σ = 1 {\displaystyle\sigma=1} ，這個分布被稱為標準正态分布，這個分布能夠簡化為 f ( x ) = 1 2 π exp ⁡ ( − x 2 2 ) {\displaystylef(x)={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\,\exp\left(-{\frac{x^{2}}{2}}\right)} 。

右邊是給出了不同參數的正态分布的函數圖。

正态分布中一些值得注意的量： 密度函數關於平均值對稱 平均值與它的眾數（statisticalmode）以及中位數（median）同一數值。

函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個標準差範圍內。

95.449974%的面積在平均數左右兩個標準差 2 σ {\displaystyle2\sigma} 的範圍內。

99.730020%的面積在平均數左右三個標準差 3 σ {\displaystyle3\sigma} 的範圍內。

99.993666%的面積在平均數左右四個標準差 4 σ {\displaystyle4\sigma} 的範圍內。

函數曲線的拐點（inflectionpoint）為離平均數一個標準差距離的位置。

累積分布函數[编辑] 上图所示的機率密度函数的累積分布函數 累積分布函數是指隨機變數 X {\displaystyleX} 小於或等於 x {\displaystylex} 的機率，用機率密度函數表示為 F ( x ; μ , σ ) = 1 σ 2 π ∫ − ∞ x exp ⁡ ( − ( t − μ ) 2 2 σ 2   ) d t . {\displaystyleF(x;\mu,\sigma)={\frac{1}{\sigma{\sqrt{2\pi}}}}\int_{-\infty}^{x}\exp\left(-{\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\\right)\,dt.} 常態分布的累積分布函数能够由一個叫做误差函数的特殊函数表示： Φ ( z ) = 1 2 [ 1 + erf ⁡ ( z − μ σ 2 ) ] . {\displaystyle\Phi(z)={\frac{1}{2}}\left[1+\operatorname{erf}\left({\frac{z-\mu}{\sigma{\sqrt{2}}}}\right)\right].} 標準常態分布的累積分布函數習慣上記為 Φ {\displaystyle\Phi} ，它僅僅是指 μ = 0 {\displaystyle\mu=0} ， σ = 1 {\displaystyle\sigma=1} 時的值， Φ ( x ) = F ( x ; 0 , 1 ) = 1 2 π ∫ − ∞ x exp ⁡ ( − t 2 2 ) d t . {\displaystyle\Phi(x)=F(x;0,1)={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{x}\exp\left(-{\frac{t^{2}}{2}}\right)\,dt.} 將一般常態分布用誤差函數表示的公式简化，可得： Φ ( z ) = 1 2 [ 1 + erf ⁡ ( z 2 ) ] . {\displaystyle\Phi(z)={\frac{1}{2}}\left[1+\operatorname{erf}\left({\frac{z}{\sqrt{2}}}\right)\right].} 它的反函數被稱為反誤差函數，為： Φ − 1 ( p ) = 2 erf − 1 ⁡ ( 2 p − 1 ) . {\displaystyle\Phi^{-1}(p)={\sqrt{2}}\;\operatorname{erf}^{-1}\left(2p-1\right).} 該分位數函數有時也被稱為probit函數。

probit函數已被證明沒有初等原函数。

常態分布的分布函數 Φ ( x ) {\displaystyle\Phi(x)} 沒有解析表達式，它的值可以通過數值積分、泰勒級數或者漸進序列近似得到。

生成函數[编辑] 矩母函数[编辑] 動差生成函數，或稱動差母函數被定義為 exp ⁡ ( t X ) {\displaystyle\exp(tX)} 的期望值。

常態分布的動差產生函數如下： M X ( t ) {\displaystyleM_{X}(t)\,} = E ( e t X ) {\displaystyle=\mathrm{E}\left(e^{tX}\right)} = ∫ − ∞ ∞ 1 σ 2 π e ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) e t x d x {\displaystyle=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sigma{\sqrt{2\pi}}}}e^{\left(-{\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\right)}e^{tx}\,dx} = e ( μ t + σ 2 t 2 2 ) {\displaystyle=e^{\left(\mut+{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\right)}} 可以通過在指數函數內配平方得到。

特徵函數[编辑] 特徵函數被定義為 exp ⁡ ( i t X ) {\displaystyle\exp(itX)} 的期望值，其中 i {\displaystylei} 是虛數單位. 對於一個常态分布來講，特徵函數是： ϕ X ( t ; μ , σ ) {\displaystyle\phi_{X}(t;\mu,\sigma)\!} = E [ exp ⁡ ( i t X ) ] {\displaystyle=\mathrm{E}\left[\exp(itX)\right]} = ∫ − ∞ ∞ 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) exp ⁡ ( i t x ) d x {\displaystyle=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sigma{\sqrt{2\pi}}}}\exp\left(-{\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\right)\exp(itx)\,dx} = exp ⁡ ( i μ t − σ 2 t 2 2 ) . {\displaystyle=\exp\left(i\mut-{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\right).} 把矩生成函數中的 t {\displaystylet} 換成 i t {\displaystyleit} 就能得到特徵函數。

性質[编辑] 常態分布的一些性質： 如果 X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyleX\simN(\mu,\sigma^{2})\,} 且 a {\displaystylea} 與 b {\displaystyleb} 是實數，那麼 a X + b ∼ N ( a μ + b , ( a σ ) 2 ) {\displaystyleaX+b\simN(a\mu+b,(a\sigma)^{2})} (參見期望值和方差). 如果 X ∼ N ( μ X , σ X 2 ) {\displaystyleX\simN(\mu_{X},\sigma_{X}^{2})} 與 Y ∼ N ( μ Y , σ Y 2 ) {\displaystyleY\simN(\mu_{Y},\sigma_{Y}^{2})} 是統計獨立的常態隨機變量，那麼： 它們的和也滿足常態分布 U = X + Y ∼ N ( μ X + μ Y , σ X 2 + σ Y 2 ) {\displaystyleU=X+Y\simN(\mu_{X}+\mu_{Y},\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2})} (proof（英语：sumofnormallydistributedrandomvariables）). 它們的差也滿足常態分布 V = X − Y ∼ N ( μ X − μ Y , σ X 2 + σ Y 2 ) {\displaystyleV=X-Y\simN(\mu_{X}-\mu_{Y},\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2})} . U {\displaystyleU} 與 V {\displaystyleV} 兩者是相互獨立的。

（要求X与Y的方差相等） 如果 X ∼ N ( 0 , σ X 2 ) {\displaystyleX\simN(0,\sigma_{X}^{2})} 和 Y ∼ N ( 0 , σ Y 2 ) {\displaystyleY\simN(0,\sigma_{Y}^{2})} 是獨立常態隨機變量，那麼： 它們的積 X Y {\displaystyleXY} 服從機率密度函數為 p {\displaystylep} 的分布 p ( z ) = 1 π σ X σ Y K 0 ( | z | σ X σ Y ) , {\displaystylep(z)={\frac{1}{\pi\,\sigma_{X}\,\sigma_{Y}}}\;K_{0}\left({\frac{|z|}{\sigma_{X}\,\sigma_{Y}}}\right),} 其中 K 0 {\displaystyleK_{0}} 是修正貝塞爾函數（modifiedBesselfunction） 它們的比符合柯西分布，滿足 X / Y ∼ C a u c h y ( 0 , σ X / σ Y ) {\displaystyleX/Y\sim\mathrm{Cauchy}(0,\sigma_{X}/\sigma_{Y})} . 如果 X 1 , ⋯ , X n {\displaystyleX_{1},\cdots,X_{n}} 為獨立標準常態隨機變量，那麼 X 1 2 + ⋯ + X n 2 {\displaystyleX_{1}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}} 服從自由度為n的卡方分布。

標準化常態隨機變量[编辑] 此章节尚無任何内容。

動差（moment）[编辑] 一些常態分布的一階動差如下： 階數 原動差 中心矩 累積量 0 1 0 1 μ {\displaystyle\mu} 0 μ {\displaystyle\mu} 2 μ 2 + σ 2 {\displaystyle\mu^{2}+\sigma^{2}} σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}} σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}} 3 μ 3 + 3 μ σ 2 {\displaystyle\mu^{3}+3\mu\sigma^{2}} 0 0 4 μ 4 + 6 μ 2 σ 2 + 3 σ 4 {\displaystyle\mu^{4}+6\mu^{2}\sigma^{2}+3\sigma^{4}} 3 σ 4 {\displaystyle3\sigma^{4}} 0 標準常態的所有二階以上的累積量為零。

生成常態隨機變量[编辑] 此章节尚無任何内容。

中央極限定理[编辑] 主条目：中央極限定理 正态分布的概率密度函數，參數為μ=12，σ=3，趨近於n=48、p=1/4的二項分布的概率質量函數。

常態分布有一個非常重要的性質：在特定條件下，大量統計獨立的隨機變量的平均值的分布趨於正态分布，這就是中央極限定理。

中央極限定理的重要意義在於，根據這一定理的結論，其他概率分布可以用正态分布作為近似。

參數為 n {\displaystylen} 和 p {\displaystylep} 的二項分布，在 n {\displaystylen} 相當大而且 p {\displaystylep} 接近0.5時近似於正态分布（有的參考書建議僅在 n p {\displaystylenp} 與 n ( 1 − p ) {\displaystylen(1-p)} 至少為5時才能使用這一近似）。

近似正态分布平均數為 μ = n p {\displaystyle\mu=np} 且方差為 σ 2 = n p ( 1 − p ) {\displaystyle\sigma^{2}=np(1-p)} . 一泊松分布帶有參數 λ {\displaystyle\lambda} 當取樣樣本數很大時將近似正态分布 λ {\displaystyle\lambda} . 近似正态分布平均數為 μ = λ {\displaystyle\mu=\lambda} 且方差為 σ 2 = λ {\displaystyle\sigma^{2}=\lambda} . 這些近似值是否完全充分正確取決於使用者的使用需求 無限可分性[编辑] 正态分布是無限可分的概率分布。

穩定性[编辑] 正态分布是嚴格穩定的概率分布。

標準偏差[编辑] 深藍色區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍。

在常態分布中，此範圍所佔比率為全部數值之68%，根據常態分布，兩個標準差之內的比率合起來為95%；三個標準差之內的比率合起來為99%。

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分布的機率分布。

若其假設正確，則約68.3%數值分布在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95.4%數值分布在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分布在距離平均值有3個標準差之內的範圍。

稱為「68-95-99.7法則」或「經驗法則」。

數字比率標準差值 機率 包含之外比例 百分比 百分比 比例 6999318639000000000♠0.318639σ 25% 75% 3/4 6999674490000000000♠0.674490σ 7001500000000000000♠50% 7001500000000000000♠50% 1 / 7000200000000000000♠2 6999994458000000000♠0.994458σ 68% 32% 1 / 3.125 1σ 7001682689492000000♠68.2689492% 7001317310508000000♠31.7310508% 1 / 7000315148720000000♠3.1514872 7000128155200000000♠1.281552σ 80% 20% 1 / 5 7000164485400000000♠1.644854σ 90% 10% 1 / 10 7000195996400000000♠1.959964σ 95% 5% 1 / 20 2σ 7001954499736000000♠95.4499736% 7000455002640000000♠4.5500264% 1 / 7001219778950000000♠21.977895 7000257582900000000♠2.575829σ 99% 1% 1 / 100 3σ 7001997300204000000♠99.7300204% 6999269979600000000♠0.2699796% 1 / 370.398 7000329052700000000♠3.290527σ 99.9% 0.1% 1 / 7003100000000000000♠1000 7000389059200000000♠3.890592σ 99.99% 0.01% 1 / 7004100000000000000♠10000 4σ 7001999936660000000♠99.993666% 6997633400000000000♠0.006334% 1 / 7004157870000000000♠15787 7000441717300000000♠4.417173σ 99.999% 0.001% 1 / 7005100000000000000♠100000 7000450000000000000♠4.5σ 99.9993204653751% 0.0006795346249% 1 / 7005147159535800000♠147159.53583.4 / 7006100000000000000♠1000000(每一邊) 7000489163800000000♠4.891638σ 7001999999000000000♠99.9999% 6996100000000000000♠0.0001% 1 / 7006100000000000000♠1000000 5σ 7001999999426697000♠99.9999426697% 6995573303000000000♠0.0000573303% 1 / 7006174427800000000♠1744278 7000532672399999999♠5.326724σ 7001999999900000000♠99.99999% 6995100000000000000♠0.00001% 1 / 7007100000000000000♠10000000 7000573072900000000♠5.730729σ 7001999999990000000♠99.999999% 6994100000000000000♠0.000001% 1 / 7008100000000000000♠100000000 7000600000000000000♠6σ 7001999999998027000♠99.9999998027% 6993197300000000000♠0.0000001973% 1 / 7008506797346000000♠506797346 7000610941000000000♠6.109410σ 7001999999999000000♠99.9999999% 6993100000000000000♠0.0000001% 1 / 7009100000000000000♠1000000000 7000646695100000000♠6.466951σ 7001999999999900000♠99.99999999% 6992100000000000000♠0.00000001% 1 / 7010100000000000000♠10000000000 7000680650200000000♠6.806502σ 7001999999999990000♠99.999999999% 6991100000000000000♠0.000000001% 1 / 7011100000000000000♠100000000000 7σ 99.9999999997440% 6990256000000000000♠0.000000000256% 1 / 7011390682215445000♠390682215445 相關分布[编辑] R ∼ R a y l e i g h ( σ ) {\displaystyleR\sim\mathrm{Rayleigh}(\sigma)} 是瑞利分布，如果 R = X 2 + Y 2 {\displaystyleR={\sqrt{X^{2}+Y^{2}}}} ，这里 X ∼ N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyleX\simN(0,\sigma^{2})} 和 Y ∼ N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyleY\simN(0,\sigma^{2})} 是两个独立正态分布。

Y ∼ χ ν 2 {\displaystyleY\sim\chi_{\nu}^{2}} 是卡方分布具有 ν {\displaystyle\nu} 自由度，如果 Y = ∑ k = 1 ν X k 2 {\displaystyleY=\sum_{k=1}^{\nu}X_{k}^{2}} 这里 X k ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyleX_{k}\simN(0,1)} 其中 k = 1 , … , ν {\displaystylek=1,\dots,\nu} 是独立的。

Y ∼ C a u c h y ( μ = 0 , θ = 1 ) {\displaystyleY\sim\mathrm{Cauchy}(\mu=0,\theta=1)} 是柯西分布，如果 Y = X 1 / X 2 {\displaystyleY=X_{1}/X_{2}} ，其中 X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyleX_{1}\simN(0,1)} 并且 X 2 ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyleX_{2}\simN(0,1)} 是两个独立的正态分布。

Y ∼ Log-N ( μ , σ 2 ) {\displaystyleY\sim{\mbox{Log-N}}(\mu,\sigma^{2})} 是对数正态分布如果 Y = e X {\displaystyleY=e^{X}} 并且 X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyleX\simN(\mu,\sigma^{2})} . 与Lévyskewalpha-stable分布相关：如果 X ∼ Levy-S α S ( 2 , β , σ / 2 , μ ) {\displaystyleX\sim{\textrm{Levy-S}}\alpha{\textrm{S}}(2,\beta,\sigma/{\sqrt{2}},\mu)} 因而 X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyleX\simN(\mu,\sigma^{2})} . 估計[编辑] 參數的極大似然估計[编辑] 概念一般化[编辑] 多元正态分布的協方差矩陣的估計的推導是比較難於理解的。

它需要瞭解譜原理（spectraltheorem）以及為什麼把一個標量看做一個1×1矩阵(matrix)的迹(trace)而不僅僅是一個標量更合理的原因。

請參考協方差矩陣的估計（estimationofcovariancematrices）. 參數的矩估計[编辑] 此章节尚無任何内容。

常見實例[编辑] 光子計數[编辑] 此章节尚無任何内容。

計量誤差[编辑] 飲料裝填量不足與超量的機率[编辑] 某飲料公司裝瓶流程嚴謹，每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配法則。

隨機選取一罐，求（1）容量超過605毫升的機率；（2）容量小於590毫升的機率。

容量超過605毫升的機率=p(X>605)=p(((X-μ)/σ)>((605–600)/3))=p(Z>5/3)=p(Z>1.67)=1-0.9525=0.0475 容量小於590毫升的機率=p(X<590)=p(((X-μ)/σ)3)=0.0013)。

也就是說，這種品質管制標準的產品不良率只有萬分之二十六。

假設例中的飲料公司裝瓶流程採用這個標準，而每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配。

那么預期裝填容量的範圍應該多少？ 6-標準差的範圍=p(-3 105 − 100 12 / 50 ) = P ( Z > 5 / 1.7 ) = P ( Z > 2.94 ) = 0.0016 {\displaystyleP(Z>{\frac{105-100}{12/{\sqrt{50}}}})=P(Z>5/1.7)=P(Z>2.94)=0.0016} 平均分數小於90的機率 P ( Z < 90 − 100 12 / 50 ) = P ( Z < − 5.88 ) = 0.0000 {\displaystyleP(Z