伯努力試驗與二項分布 - 科學Online

伯努力試驗與二項分布(Bernoulli Trial and Binomial Distribution) 國立成功大學統計系/東吳大學財務工程與精算數學系專任統計助教杜柏毅. Monday25thApril2022 25-Apr-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 伯努力試驗與二項分布(BernoulliTrialandBinomialDistribution) 國立成功大學統計系/東吳大學財務工程與精算數學系專任統計助教杜柏毅 在生活中，有很多的事情都只有兩種結果(outcome)，例如考試是否及格、明天是否下雨、丟擲銅板並觀察其結果。

當一個試驗只有兩種可能結果（成功與失敗），且兩個結果出現之機率為固定（若成功機率為\(p\)，則失敗機率為\(1-p\)），我們稱這樣的試驗為伯努力試驗(Bernoullitrial)。

當我們重複進行多次相同的伯努力試驗（如丟擲一相同硬幣數次），且已知這些試驗之間的結果互相獨立（即這次試驗的結果不影響下次試驗的結果），則稱為二項實驗(binomialexperiment)。

舉例來說，本季罰球命中率約為九成的NBA球星StephenCurry連罰\(3\)球（對運動員來說，連罰\(3\)球並不會有體力上的耗損）即是一個實驗次數為\(3\)，成功機率為\(0.9\)的二項實驗。

若我們觀察這個二項實驗中成功的次數，則稱此成功次數為一個符合二項分配(binomialdistribution)的隨機變數，以“\(+\)”代表進球，“\(-\)”表示未進球，其可能的結果以隨機變數及其發生的機率以表一所示： 表一、StephenCurry連罰3球的結果、隨機變數及其發生的機率。

結果S 隨機變數X：三次罰球的總進球數x 機率f(x) ＋＋＋ x=3 \(0.9^3\) ＋＋－ ＋－＋ －＋＋ x=2 \(C^3_20.9^2(1-0.9)^1\) ＋－－ －＋－ －－＋  x=1 \(C^3_10.9^1(1-0.9)^2\) －－－ x=0 \(0.1^3\) 表一中第一欄的結果為隨機實驗的樣本空間（定義為\(S\)），而第二欄隨機變數的結果則是透過一個隨機變數（定義為\(X\)），將樣本空間的結果轉換由實數\(\{x:0,~1,~2,~3\}\)。

第三欄表述隨機變數的結果之發生機率（記為\(f(x)\)，\(f\)為機率函數）。

觀察進球數\(x\)與發生機率\(f(x)\)的關係，我們可將不同進球數的機率，以一個函數表達： \(f(x)=C^3_x0.9^x(1-0.9)^{3-x},~~~~~~x=0,~1,~2,~3\) 此時我們可以說隨機變數\(X\)屬於「實驗次數\(n=3\)，成功機率\(p=0.9\)的二項分配」，記為 \(X\simB(3,0.9)\) 若推廣至實驗次數為\(n\)，成功機率為\(p\)，則機率分配為  \(f(x)=C^n_xp^x(1-p)^{n-x},~~~~~~x=0,~1,…,~n\) 若有一隨機變數\(X\)屬於此分配，則記為 \(X\simB(n,p)\) 接著，我們要討論二項分配的平均數（代表分配的集中趨勢）與變異數（代表分配的離散程度）。

若有一隨機變數\(X\simB(n,p)\)，我們可將\(X\)視為\(n\)個成功機率為\(p\)，且互相獨立的白努力分配\((X_i\simB(1,p))\)的總和。

\(X=X_1+X_2+…+X_n\) 透過期望值的運算，可以得知其中任何一個伯努力分配的平均數為 \(E(X_i)=\sum\limits^1_{x=0}xp^x(1-p)^{1-x}=p\) 變異數為 \(Var(X_i)=E(X^2_i)-[E(X)]^2=\sum\limits^1_{x=0}x^2p^2(1-p)^{1-x}-p^2=p(1-p)\) 由於原隨機變數\(X\)中的所有\(X_i\)均為互相獨立的隨機變數，基於期望值與變異數的可加性，我們可知原隨機變數\(X\)的平均值與變異數為 \(E(X)=E(X_1+X_2+…+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+…+E(X_n)=np\) \(Var(X)=Var(X_1+X_2+…+X_n)=Var(X_1)+Var(X_2)+…+Var(X_n)=np(1-p)\) 二項分配在不同實驗次數，及不同成功機率的分配圖形如圖一和圖二。

另外，二項分配之所以被稱為二項分配，是因為分配的機率值是二項式定理的二項係數。

二項式定理與二項分配之機率總和： 二項式定理：\(\sum\limits^n_{x=0}C^n_xa^xb^{n-x}=(a+b)^n\) 二項分配之機率總和：\(\sum\limits^n_{x=0}f(x)=C^n_xp^x(1-p)^{n-x}=[p+(1-p)]^n=1\) 圖一、二項分配在不同成功機率下的分配圖形。

（本文作者杜柏毅繪） 圖二、二項分配在不同實驗次數下分配圖形。

（本文作者杜柏毅繪） 參考文獻 Hogg,R.V.,&Craig,A.T.(1970).introductiontomathematicalstatistics.7thEd.p.11 Hogg,R.V.,Tanis,E.,&Zimmerman,D.(2014). Probabilityandstatisticalinference.9thEd.p.49 Tags:probabilitydistribution,probabilityfunction,randomvariable,機率函數,機率分配,隨機變數 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） Thereis1commentforthisarticle Pingback:罗吉斯回归(LogisticRegression)|大专栏 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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