2.2連續型均勻分佈 - 國立高雄大學統計學研究所

表指數分佈與gamma分佈之關係。

又其p.d.f.之圖形如圖3.3。

圖3.3 $\mathcal{E}(\lambda)$ 分佈 ... 連續型分佈                                  均 勻分佈 連續型在區間之均勻分佈,以 表之。

設隨機變數有 分佈,其中。

則之p.d.f.為 (3.1) 分佈函數則為 圖3.1給出 分佈之p.d.f., 及分佈函數之圖形。

     圖3.1 分佈之p.d.f.及分佈函數之圖形 又 通常自一有限的區間隨機地取一點, 所得的點便有 分佈。

但不可以是無限的區間。

對一實數上的集合,令 則稱為之指示函數。

若採用此符號, 之p.d.f.可寫成 。

Gamma 分佈 隨機變數,若其p.d.f.為 (3.2) 其中 為二正數,便稱為有參數之gamma分佈(gamma distribution),以 表之,此gamma函數(gammafunction)之定義為 (3.3) Gamma函數有不少性質。

例如, (3.4) (3.5) (3.6) 如何驗證(3.2)式的確定義出一p.d.f.呢?首先由(3.3)式,立即得知 (3.7) 對每一皆為一p.d.f.。

經由變數代換,假設隨機變數, 具有如(3.7)式 之p.d.f.,令,其中, 則得之p.d.f.如(3.2)式所給。

由 ,我們亦得下述公式: (3.8) 圖3.2Gamma分佈p.d.f.之圖形,1,2,3,4分別對應 ,1, 1.5,2,則皆為2 Gamma分佈之動差極易求出。

對 ,    此處用到積分的變數代換,令,以及因, 故由(3.3)式得 其實不須為整數。

可看出只要實數,便有 (3.9) 由(3.9)式得 因此 又 　 註1有些書的gamma分佈,其p.d.f.寫成 (3.10) 由於只是參數,本質上此二形式並無差異, 只是此時期望值及變異數分別要改成,及 ,而拉普拉斯轉換成為 Gamma分佈與波松分佈之間,有一有趣的關係。

例1.設有 分佈,且為一正整數。

則 (3.11) 其中有 分佈。

上式之另一表示法為 (3.12)    卡 方分佈 如果取,其中為一正整數,,便得到卡方分佈(chi-squared distribution)。

此分佈只有一參數, 稱為其自由度(degreesoffreedom),而p.d.f.為 (3.13) 此分佈以表示。

圖3.2中之gamma分佈p.d.f.之圖形, 由於對應,故亦皆為卡方分佈p.d.f.之圖形, 分別為,,,及。

當有分佈,利用關於gamma分佈的結果,可得 及 (3.14) 其中並不須為整數。

例2設有 分佈。

則對 , 有 分佈。

  此由拉普拉斯轉換可唯一決定分佈即可得知: 　 指 數分佈 在 分佈裡,若取, 就會得到gamma分佈之另一特例:指數分佈。

不過為了簡便, 通常再取 ,而得p.d.f. (3.15) 此為參數之指數分佈,以 表之。

可以符號 表指數分佈與gamma分佈之關係。

又其p.d.f.之圖形如圖3.3。

圖3.3 分佈p.d.f.之圖形 指數分佈之分佈函數形式簡單: 又由gamma分佈之結果可得 由立即得 指數分佈亦有無記憶性質: 韋 伯分佈 韋伯分佈(Weibulldistribution)以指數分佈為一特例. 其p.d.f.為 (3.16) 其中 。

若取, 則得 分佈, 以 表之。

分佈即參數之瑞萊分佈。

又若令, 則有 分佈。

韋伯分佈族與gamma分佈族的交集,就是指數分佈族。

圖3.4給出一些韋伯分佈p.d.f.之圖形。

圖3.4韋伯分佈p.d.f.之圖形,1,2,3,分別對應 , 則皆為1. 分佈的分佈函數為 期望值及變異數則可利用(3.9)式而得: 當有 分佈, 我們已指出有 分佈。

因此(在(3.9)式中令 ) 又(在(3.9)式中令 ) 故 　 常 態分佈 常態分佈(normaldistribution)又稱高斯分佈(Gaussian distribution)。

常態分佈有二參數及,,, 以 表此分佈,p.d.f.為 (3.17) 若有 分佈,則 有 分佈,稱為標準常態(standard normal)分佈。

其p.d.f.為 (3.18) 由至的一變換稱為將標準化, 分佈經標準化後, 便成為 分佈。

由於有此性質,雖有二參數, 常態分佈之機率值皆可藉由標準常態分佈之機率值而得。

通常令 (3.19) 表標準常態分佈之分佈函數。

則對任意,                                        (3.20)                                  又因之p.d.f.為偶函數,故 (3.21) 利用附表4,可得常態分佈的機率值。

在此設有 分佈,對,令滿足 (3.22) 可看出 , 為標準常態分佈函數的第分位數。

例3.由附表4得 , 。

又若 ,則。

另外, 。

對一般的常態分佈,則可先利用(3.20)式, 轉換成標準常態分佈而得其機率值。

例如, 設有 分佈,欲求。

  最後利用(3.21)式,對有 分佈,立即可得 (3.23) 之期望值及變異數,也可藉由之期望值及變異數而得: 故 即標準常態分佈之期望值為0,變異數為1。

由此即得 故之期望值為,變異數為。

也就是在 分佈裡,二參數, ,分別為之期望值及變異數。

我們給出標準常態之圖形如圖3.5。

圖3.5 分佈p.d.f.之圖形 常態分佈之特徵函數存在,列出如下: (3.24) 動差母函數亦存在: (3.25) 利用(3.25)式,可得到 分佈之所有動差。

對於標準常態分佈,其所有動差皆有簡潔的公式: 設有 分佈,利用分部積分可得 (3.26) 又因,且,故 (3.27) 且 (3.28) 應注意到, 我們其實尚未檢驗(3.17)式所定義的的確為一p.d.f.。

由於可利用標準化的變換,我們只要檢驗 即可。

而因 ,,為一偶函數,故只要證出 (3.29) 即可。

(3.29)式中的定積分之值, 只要用到重積分: 此處用到極坐標變換,令,, ,。

因此(3.29)式成立。

附帶一提,(3.29)式等價於 (3.30) (3.30)式之積分與gamma函數關係密切。

令,則(3.30)式成為 即得 (3.31) 由此可得之值, 。

圖3.6給三個有相同的, 但不同之p.d.f.的圖形,以做比較。

圖3.6 、 及 分佈p.d.f.圖形之比較 　 當有 分佈,會在的1個, 2個及3個標準差內之機率,分別約為 其中有 分佈。

例4.假設6歲小孩之智商(IntelligenceQuotient, 簡稱IQ)可以 分佈當做模式。

則任一6歲小孩,其智商介於 間,即介於 間之機率約為0.9974。

此區間長度為6個標準差。

而任一6歲小孩,智商超過160之機率為何？  　 最後,常態分佈與gamma分佈亦有關係。

當有 分佈,則有 分佈。

又因當有 分佈時, 有 分佈, 故 有分佈。

Beta分佈 Beta分佈(betadistribution)定義在區間, 有二參數 ,以 表之,其p.d.f.為 (3.32) 在微積分裡,可證明下述積分: 對 皆存在。

先定義函數 為 (3.33) 稱為beta函數(betafunction)。

利用重積分,可證明 (3.34) 即 (3.35) 因此(3.32)的確定義出一p.d.f.。

Beta分佈,是少數取值在一有限區間的常見分佈, 可用來當做取值在0至1的母體之機率模式。

分佈也是一種beta分佈,即為 。

由於有二參數,參數的改變,可使圖形有很大的變化(見圖3.7)。

圖3.7Beta分佈p.d.f.之圖形,1,2,3,4,5,6分別對應 , 及 Beta分佈之動差可很容易地求出: (3.36)                                                    上式對,即,皆成立。

由此即得 　 柯 西分佈 隨機變數稱為有 分佈,, ,若其p.d.f. 為 (3.37) 因 故(3.37)式的確定義出一p.d.f.。

又分佈函數為 (3.38) 對有 分佈,令 , 則有 分佈。

柯西分佈有二參數,p.d.f.之圖形亦為鐘形,不仔細看, 還不容易與常態分佈p.d.f.之圖形區別。

圖3.8將 及 p.d.f.之圖形放在一起比較。

圖3.8 與 p.d.f.圖形之比較 雖然都是鐘形,與常態分佈p.d.f.之圖形有一很大的差異, 就是柯西分佈p.d.f.之圖形下降至0的速度慢很多。

可證明 即使, 對任一 分佈,其任意次動差皆不存在。

柯西分佈之拉普拉斯轉換,及動差母函數也皆不存在, 但特徵函數存在。

即若有分佈,則 (3.39) 對 數常態分佈 隨機變數,若滿足有 分佈, 便稱有對數常態分佈(log- normaldistribution), 參數為。

利用變數代換,可得之p.d.f.為 (3.40) 其中,。

由於有 分佈, 利用常態分佈之動差母函數,可得(注意) 甚至任意次動差皆可求出: (3.41) 上式其實對 皆成立。

我們給一些對數常態p.d.f.的圖形如圖3.9.。

圖3.9對數常態分佈一些p.d.f.的圖形   註2一隨機變數,若滿足 ,其中, 則其分佈稱為右傾,或稱正傾(positivelyskewed); 若 ,則稱其分佈為左傾(skewedtotheleft), 或稱負傾(negativelyskewed)。

若之p.d.f.為偶函數,且存在,則 。

　 雙 指數分佈 若隨機變數有p.d.f. (3.42) 其中,則稱有參數之雙指數分佈(double exponentialdistribution), 以- 表之。

雙指數分佈之p.d.f.為一偶函數。

其圖形約略如圖3.10. 不難看出有 分佈。

圖3.10- p.d.f.之圖形 - 分佈p.d.f.之圖形並非鐘形, 事實上p.d.f.之圖形在不可微。

由於p.d.f.含有項, 在做積分時,要分及。

又可求出 (3.43) (3.44) 及動差母函數 (3.45)             對每一皆存在。

雙指數分佈又稱拉普拉斯分佈(Laplace distribution)。

較一般的形式之p.d.f.為 (3.46) 有二參數 。

此分佈之期望值為, 變異數為。

 進一步閱讀資料：黃文璋(2003). 基本概念。

數理統計講義第二章。

國立高雄大學應用數學系。