3.1聯合及邊際分佈

對離散的情況, 令 , , 分別稱為 及 之邊際機率密度函數, 或說邊際p.d.f.。

下述定理給出由聯合p.d.f.來求邊際p.d.f.的方法。

定理1.設有離散型隨機向量 ... 聯合及邊際分佈         到目前為止,我們所討論的隨機變數,都是所謂單變數,本章我們要引進多變數,或說多維(或說多變量)隨機變數。

　　在進行一隨機試驗,較少的時候才只觀測一隨機變數。

很少有說只收集一個數據的。

例如,做民調,不會只調查一個人;要了解某地區之國民所得, 不會只取得一個人的所得。

有時候我們要比較兩次考試的成績,則對同一個學生便有兩個數據。

身高與體重間之關係,也是兩個變數。

這些例子,足以說明多維隨機變數也是我們必須熟悉的。

　　所謂維的隨機向量,為一由樣本空間映至維歐氏空間的函數。

有時會說維(或變數)的隨機變數。

本章頭幾節, 我們主要討論的情況,的情況至第3.7節再介紹。

　　假設對, 有一二維的點與其對應, , 則便定義出一個二維的隨機向量。

例1.投擲一公正骰子兩次,樣本空間給在第一章例 2.3,共有36個元素。

對一樣本點, 表第一次出現,第二次出現。

現定義二隨機變數 例如,若, 則。

而對, 亦有 。

　　定義出隨機向量, 我們便可以求經由所定義出的事件之機率。

這種事件,當然都還是的一個子集合, 因此才能求出其機率。

例如,我們可以問, 即且, 之機率為何?即要求, 或是。

為了簡便,我們常將後者寫成,即以逗號“ ,”表“且”。

　　不難驗證中, 使且的元素, 恰就是, 二樣本點。

由於每一樣本點之機率皆為。

故 另外, 表1.1 例1中之聯合p.d.f.及邊際p.d.f. 　　上例中的隨機向量為離散型,因它所有可能的值是可數的(事實上為有限)。

對離散型的隨機向量,令 稱為(或省略括號, 只寫)之聯合機率密度函數,或聯合p.d.f.。

有時為了強調是之聯合p.d.f.,也可寫成。

表1.1給出例1中之聯合p.d.f.。

　　如同單變數的情況,由之聯合p.d.f., 可完全決定之機率分佈。

即對, (1.1) 由於為一離散型的隨機向量, 只對可數個才不等於0。

所以即使包含不可數個點, 如上一長方形,(1.1)式的右側, 只會是一可數個的和。

例如,取。

這是中一半線, 有不可數個點。

但由表1知,在中只有或才會使。

故 如預期的,與例1中所得相同。

當求出之聯合p.d.f.後, 在求關於之機率時,通常會較回到樣本空間上(如例1的作法)去求容易。

　　對離散型的隨機向量, 其聯合p.d.f., 要滿足, 且存在一可數的集合, 使得 (1.2) 反之,若為一由至的非負函數,且只有在一可數的集合才不 為0,並滿足(1.2)式,必為某一隨機向量之聯合p.d.f.。

如同單變數的情況,這種並不唯一。

不同的隨機向量,可以有相同的聯合p.d.f.。

　　雖然在考慮隨機向量, 但有時會對其中某一變數有興趣。

例如,我們可能想知道諸如之機率。

若為一隨機向量, 則分別為隨機變數。

對離散的情況,令,, 分別稱為及之邊際機率密度函數, 或說邊際p.d.f.。

下述定理給出由聯合p.d.f.來求邊際p.d.f.的方法。

 定理 1.設有離散型隨機向量, 以為其聯合p.d.f.。

則　　　 (1.3) (1.4) 　　如果取非負整數值, 則(1.3)式成為 如果取值在正偶數, 則 又, 須滿足 (1.5) (1.6) 因只是對所有可能的值相加,為了簡便,常以 分別取代 例2.利用定理1,可求出例1中之邊際p.d.f.。

　   由之聯合p.d.f.,除了知道關於之事件的機率,也可知道僅關於,或僅關於之事件的機率。

　　再來我們考慮連續型的隨機向量。

一由映至的非負函數,若滿足對, (1.7) 便稱為連續型隨機向量之聯合p.d.f.。

至於之邊際p.d.f.,則定義為 (1.8) (1.9) 　　反之,任一二變數的非負函數,若滿足 (1.10) 必為某一連續型的隨機向量之聯合p.d.f.。

如果(1.10)式中之只在一有限的區域,例如長方形,其中,不為0,則(1.10)式成為 要注意的是,有時候不同的聯合p.d.f.,會導致相同的邊際p.d.f.。

也就是有可能與分佈不同,但,。

例3.設之聯合p.d.f.為 　　驗證確為一p.d.f.，並計算之值。

　 例4.設之聯合p.d.f.為 求之值。

　　隨機向量之聯合分佈函數的定義為： (1.11) 　　對離散型的隨機向量,聯合分佈函數常沒有簡單的型式,應用上不是那麼方便。

但對連續型的隨機向量,如同單變數的情況,若之聯合p.d.f.為,則 (1.12) 利用兩變數的微積分基本定理,在每一之連續點,上式導致 (1.13) 最後對隨機向量,令為一實值函數,則仍為一隨機變數。

對離散型及連續型,之期望值分別為 例5.承例3。

求和之值。

　　 例6.設之聯合p.d.f.為 試求(i)之值,(ii),及(iii),。

進一步閱讀資料：黃文璋(2003).多維隨機變數。

數理統計講義第三章。

國立高雄大學應用數學系。