二項分布與大數法則

就稱為二項分布b(x;n,p) 的期望值或平均值。

雖然x 的期望值是np，但這不就表示x 值常出現在μ 值附近。

也許 ...     首頁|搜尋 ．原載於科學月刊第十六卷第六期 ．作者當時任教於台大數學系 ‧註釋   二項分布與大數法則理論與實際相連 曹亮吉     在〈藥效如何〉（《科學月刊》第十六卷第五期）一文裏，我們假設某藥的治療率為0.6，然後算出10人中有x人痊癒的機率為 C10x(0.6)x(0.4)10-x。

這是一種機率分布；我們的目的是把試驗的結果拿來和此機率分布模型相對照，以決定治癒率為0.6的假說是否合理。

上面這種機率分布稱為二項分布。

一般的二項分布是這樣的： 假設某事件的發生率為p，而試驗做了n次。

則n次中，某事件發生x次的機率為 b(x;n,p)=Cxnpx(1-p)n-x 通常我們把n、p固定，讓x變動，以研究其機率變動的情形。

這種機率分布之稱為二項分布。

因為它可經由二項式(p+(1-p))n的展開式而得： （上式的左邊等於1；這正表示各種可能的x值，其發生的機率之和為1。

） 因此有關二項分布的理論與計算和二項係數Cxn的性質有密切的關係。

讓x變動，則b(x;n,p)變化的情形如何？我們以n=10,p=0.6為例，列成下表 x b(x;10,0.6) x b(x;10,0.6) 0 0.0001 5 0.2007 1 0.0026 6 0.2508 2 0.0106 7 0.2150 3 0.0425 8 0.1209 4 0.1125 9 0.0060 我們發現b(x;10,0.6)之值隨著x之值逐漸升高，到了x=6時最大，然後又逐漸變小。

這種現象毋寧說是預期的，因為n=10，p=0.6，所以預期x=np=6最可能發生，而x離開6愈遠愈不可能發生。

一般的n,p也有類似的現象。

直接從公式來看，我們可以這樣解釋：時 當x小的時候，這個比值會大於1，而當x大過某種程度後，這個比值會小於1，這只表示b(x;n,p)之值由小變大，然後再變小。

什麼時候達到最大值？當上述比值由大於1變成小於等於1的時候。

假設 則np-x>-p而。

兩式合併得 。

因為0